exp(x) derivaatta on exp(x).
Osoita, että
54j643
52226
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 52
Vanhimmat
y=e^x
ln(y)=x
y'/y=1
y'=y
exp(x) määritellään ln(x) käänteisfunktiona. ln(x) taas on 1/x antiderivaatta.
käytät käänteisfunktion derivaattaa
D exp(x)=1/D(ln(y))=1/ 1/y=y
Missä x=ln(y) eli y=exp(x) MOT.
Eli sitten pitää vielä osoitaa, että ln(x) derivaatta on 1/x.
Tuon voi lukea jostain matikan oppikirjasta tai wikipediasta.
Idioottimaista on niitä tänne on ruveta kopioimaan.
No, jos tuo on liian raskasta kopioitavaksi keskustelupalstalle, niin todista alkuperäinen tehtävä. Siihen riittää pari lausetta.
Ei riitä pari ausetta jos todistetaan kunnoa ei että raja-arvo (h -> 0) (e^h - 1)/h = 1.
Ohman
(e^x)'=e^x*(limes h=>0 (e^h-1)/h=e^x, koska e^h-1 lähenee h:ta kun h=>0
ja tämä nyt oli sitten sieltä kirjasta
Ei näy oevan käsitystä raja-arvosta. e^h - 1 -> h kun h -> 0 on järjetön väite. ausekkeen e^h - 1 raja-arvon tuee oa jokin kiinteä uku, jota tuo ausekkeen arvo ähestyy kun h -> 0.. Ja sehän on 0.
Kun h lähenee nollaa , niin h on aina nollan ja lausekkeen e^h-1 välissä, eli e^h-1 lähenee h:ta , kun h lähenee nollaa.
Katsohan nyt jostain kirjasta miten raja-arvo määriteään. En viitsi inttää itsestään sevästä asiasta.Ja derivaatan määritemässä h -> 0 kummata puoeta hyvänsä , muuten puhutaan oikean- tai vasemmanpuoeisesta derivaatasta.
Tässä on todistettava että raja-arvo (h -> 0) (e^h - 1)/h = 1.
Ohman
Kirjastahan minä näitä juuri opettelenkin. Tuossa on asiasta:
http://aijaa.com/7cbfGR
" koska e^h-1 lähenee h:ta kun h=>0 "
Mistä tuon tietää ?
Tää jäi näköjään mulle, tää kirjasta kopiointi: http://aijaa.com/RCU2nu
Mistä tuon e:n määritelmän tietää, jos ei ole niitä kirjoja lukenut ?
Nyt tiedät, pistä muistiin.
Asioiden ymmärtäminen on parempi.
Differentiaaliyhtälön f'(x)=f(x) ratkaisu on e^x. Tämä voidaan helposti osoittaa ratkaisemalla yhtälö diskretoimalla ja merkitsemällä [ (1 dx)^(1/dx)] raja-arvoa e:llä, kun dx --> 0.
Todista tuo.
f'(t)=f(t)
(f(t dt)-f(t))/dt = f(t)
f(t dt) = (1 dt)*f(t)
f(0)=f0
f(dt)=(1 dt) f0
f(2*dt)= (1 dt)**2 f0
..
..
f(n*dt)= (1 dt)**n f0
n*dt=t
n=t/dt
f(t)= (1 dt)**(t/dt) f0
f(t)= ((1 dt)**(1/dt))**t f0
kun dt --> 0 niin termi (1 dt)**(1/dt) --> arvoa 2.718281828... Nimitetään se e:ksi, jolloin yhtälön ratkaisu on
f(t)= f0 e**t
Ei paljon vakuuttanut. Wikipedissa tuo on esitetty paljon siistimmin.
No hyvä. Lue sieltä.
f '(x= f(x).Siis f 'on oemassa vaikka juuri tämä pitäisi todistaa.
Avainasiakin ,tuo raja-arvon eksistenssi,jota arvoa sitten kutsutaan e:ksi jää tdistamatta.
Ohman
Etsitään vain funktio, jolle tuo f'= f pätee. Ja sellainen löytyy. Siinä tupsahtaa esiin sitten tuo e.
Jos kaavassa asetetaan dt = 1e-8, saadaan 2.7182818148676366. Se on ainakin seitsemällä desimaalilla "e".
LibreOffice ei anna tätä tarkemmin e:n arvoa, exp(1.0)=2.718281828.
Wiki antaa 2.718281828459045
Raja-arvon olemassaolon formaali todistaminen on sitten "korkeampaa matematiikkaa".
Tässähän pitää lähteä liikkeelle derivaatan määritelmästä, eli
f'(x) = lim h->0 ( f(x h) - f(x)) / h.
jos f(x) = e^x, niin saadaan lim h->0 (e^x h - e^x)/h = lim h->0 (e^x(e^h-1))/h
e^h voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana e^h = 1 h h^2/2 ...
eli lim h-> 0 (e^x(1 h h^2/2 ... -1)/h = e^x, sillä kaikki korkeamman asteen termit häviävät, kun h->0.
Taylorin sarjojen käyttäminen on vain yksi tapa laskea raja-arvoja, muitakin menetelmiä löytyy.
Miten e^h voidaan kirjoittaa Taylorin sarjana, vaikka ei tiedetä sen derivaattaa, hä?
Tuo pätee vain jos eksponenttifunktio on määritelty Taylorin sarjan kautta. Muutoin sarjan laskemisessa käytetään derivaattaa eli kuljetaan kehässä.
Tuolla saatiin derivaatalle termi f'(x) = e^x*lim h->0 (e^h-1))/h joka on e^x * f'(0) eli voidaan päätellä derivaatan olevan vakio kertaa e^x.
Mistä sinä tiedät että raja-arvo (e^h-1) /h = f ' (0) ? Sinähän siis jo oetat että funktioa e^h on derivaatta pisteessä h = 0 !!!
Kummaa sotkua tämä ketju! Muutama poikkeus on, esim "mottiaisää "/24.8 201 6 1:57.
Katsokaa nyt jostain kunnon kirjasta miten raja-arvo ( h -> 0) (e^h- 1)/ h = 1 määrätään.En viitsi ruveta tähän kopioimaan.
Ohman
No eikös tuo tule derivaatan määritelmän nojalla:
lim h->0 ( f(x h) - f(x)) / h, ja kun x=0, saadaan f'(0) = lim(h -> 0) (e^h-e^0)/h
En nyt ymmärrä mitä ihmeellistä tuossa on.
Ei muuta kuin se että pitäisi todistaa että tuo raja-arvo on oemassa. Se on koko jutun ydin kuten tässä on monta kertaa sanottu.Ja tuo raja-arvo on 1
Ohman
Haluaisin tässä huomauttaa että Taylorin sarjoja saadaan aikaiseksi ilman derivaattojen käyttämistäkin. Tässä tapauksessa e^x = lim n->infty (1 x/n)^n, ja binomikehitelmän kautta saadaan sama tuttu sarjakehitelmä e^x:lle. Samalla tavallahan luku e on määritelty, jos x:n paikalle laittaa 1.
Sitähän sää kysyit ja tossahan sää sen sanoit.
Vastaus alkuperäiseen kysymykseen riippuu siitä, miten eksponenttifunktio exp(x) määritellään. Sen voi tehdä monella eri tavalla ja jokainen tapa vaatii erilaisen todistuksen kaavalle exp'(x) = exp(x). Neperin lukuun liittyvistä yksityiskohdista voi lukea esim. Matematiikkalehti Solmusta:
http://matematiikkalehtisolmu.fi/2015/2/neper.pdf
Mukava huomata, että joku ammattilainenkin seurailee palstaa.
Luonnollinen logaritmi ln(x) määritellään funktion 1/x antiderivaataksi. Ja exp(x) määritellään ln(x) käänteisfunktioksi. Näin kun liikutaan reaalialueella, jos haluat liikkua kompleksilukualueella, niin siellä exp(z) määritellään Taylorin sarjakehitelmällä, joka on se kehitelmä joka saadaan reaalialueelle yllä olevien määritelmien perusteella.
Toisin sanoen jos osaa käänteisfunktion derivaatan ja yhdistetyn eli derivoida
D f^-1(x)= 1/f'(f^-1(x))
Saadaan
D exp(x)=1 / ( 1 / exp(x)) = exp(x)
Neperin luvun määritelmään perustuvaa todistusta on vaikea tehdä, koska ongelma tässä ei ole neperin luku vaan eksponentissa oleva reaaliluku (joka voi olla irrationaalinen). Mitä tarkoittaa kun korotetaan kantaluku potenssiin joka on irrationaaliluku esim. mitä tarkoittaa 2 potenssiin pii.
Matematiikassa eksponenttifunktio a^x on hyvin määritety kun a>0 ja se on differentioituva R:ssä. On myös yksikäsitteinen uku e > 1 semmoinen että f(x) = e^x => f '(x) = e^x. Ja f(x)= a^x => f '(x) = a^x og( e; a).
Mutta kyä tuo kysyjän 54J643 tehtävän paras ratkaisu on näyttää se suoraan derivaatan määritemästä jooin tuee eteen tuon raja-arvon(h->0) (e^h - 1)/h = 1 osoittaminen.
Nämä asiat kyä öytyvät kirjoista.
Aiheetta enempään
Ohman
Ensin oletukset, jotka on "pakko" tietää/tuntea:
1. Neperin luvun e määritelmä: lim ( 1 1/n)^n = e, kun n --> ääretöntä
2. jos y = e^x, niin x = ln(y) ja vielä a*lnx = ln(x^a)
3. käänteisfunktion derivaatta: dy/dx = 1 / (dx/dy)
Ihan ensiksi täytyy kuitenkin todistaa, mitä on dy/dx, jos y = ln(x) ... no se seuraavaksi:
D(lnx) on raja-arvo eli limes, kun h --> 0, lausekkeesta [ln(x h) - lnx)] / h
--> ln((x h)/x)/h = 1/x*(x/h)*ln[(1 1/(x/h)] = 1/x*[ln(1 1/(x/h))^(x/h)]
--> 1/x*ln(e)...perustuen edellä mainittuun Neperin luvun e:n määritelmään
--> 1/x*1, koska ln(e) = 1
edellisestä todistelusta seuraa siis, että Dln(x) = 1/x --> eli jos y = ln(x), niin y' = 1/x
No entäs sitten? no käänteisfunktion derivaatan perusteella (muista, että y = lnx)
dy/dx = 1 / (dx/dy) eli jos y = e^x, niin x = lny ja dy/dx = 1/(dx/dy) = 1 /(1/y) = y = e^x
Siis De^x = e^x
m.o.t
(muista, että y = lnx)
tuo sulkulause piti poistaa...
Ensin e = (1 1/n)^n kun n -> ääretön. Myöhemmin e = (1 x/h)^(x/h) kun h -> 0.
Sama asiako?Todista nyt kuitenkin.
Kirjoitusvirhe! Piti kirjoittamani e = (1 1/(x/h))^(x/h) kuten kaavassasikin.
Lukion kirjassa asia klaarattiin aikanaan näin:
Funktio f=a^x. Funktion f erotusosamääräksi saadaan(a^h-1)/h*f(x), josta seuraa
f´(x)=f´(0)*f(x)= k*f(x)
Geometrisesti tulkittuna k on käyrän y=a^x pisteeseen (0,1) piirretyn tangentin kulmakerroin.
Kantaluvulle a voidaan antaa sellainen arvo, että sitä vastaava k=1.
Sellainen kantaluku on e.
Täten on mukamas todistettu, että (e^x)´=e^x
On se noinkin, mutta tossa jää näyttämättä, miten sille e:lle se arvo noin 2,7 saadaan.
Kokosin tähän nyt yhteen sen tässä esiin jo tulleen osoituksen:
http://aijaa.com/w5bbMe
Tuossakin käytetään hyväksi e määrittelyä ja ln-funktiota. Postauksen 23.8.2016 22:08
menettelyssä ne seuraavat itsestään, kun etsitään vain funktiota, jolle pätee f'(x)=f(x).
Menetelyn tuloksena saadaan e määrittely ja siitä sitten myös sen arvo. Mitään ei tarvitse olettaa etukäteen.
Jos esitetään e kymmenellä numerolla (2.718281828), niin tuollaisia 10-numeroisia lukuja on 10^10 kappaletta. On kiehtovaa, että vain yhdelle niistä pätee (e^x)' = e^x. Ja tuo luku voidaan lytää noinkin yksinkertaisen proseduurin avulla.
huuhaatapa niinkin! Eihän tiedetä että (a^h - )/h -> f'(0) ennenkuin tämä on todistettu Jutussasi a^x omaa derivaatan kun x = 0 vaikka juuri tämä pitäisi todistaa.Paroni Munchausenin todistus! Hänhän nosti itsensä tukastaan vetäen.
Siinä oli kyllä välissä näin:
Tässä (a^h-1)/h= (f(h)-f(0))/h→f`(0), joten f`(x)=f`(0)*f(x),
Jätin sen pois, kun se oli niin hankala kirjoittaa ja tuntui niin itsestään selvältäkin.
Sanoin jo jättäväni tämän asian kommentoinnin mutta ...
Tuossa kaavassa ei oe mitään järkeä.Jotta (f(h) - f(0))/h -> f'(0) kun h -> 0 niin täytyy siis tuon derivaatan f'(0) oa oemassa. Mutta juuri tämähän on todistettava!
Et vastannut Huutiukon kommenttiin mitenkään.
Tässä myös kommentti nimimerkin "n36-intj" kommenttiin / 24.8.2016 18:34:
Mitä kaikkea näin perusasian, kuin mitä tässä tutkitaan,todistuksessa voidaan pitää tunnettuna,jo todistettuna?
e = raja-arvo (n -> if) (1 1/n) ^n.
1.Onko todistamatta varmaa että e^x = raja-arvo (n -> inf) (1 x/n)^n
2. (1 x/n)^n = 1 C(n,1)*(x/n) C(n,2) *(x/n)^2 ... C(n,n-1)( x/n)^(n-1) (x/n)^n. Onkohan se nyt todistamatta varmaa että kun n-> inf niin tuosta syntyy sarja
1 x x^2/2! x^3/3! ..
3.Jos tuon saa todistettua on osoitettava että tuo sarja suppenee siten että se tosiaan esittää funtiota e^x ja että se voidaa derivoida termeittäin. Tai sitten todetaan että sarja on e^x-funktion Tayorin sarja (Macaurin) joten (e^x)'(0) = 1 ja siis raja-arvo (h ->0 ) ((e^h- 1)/h) = 1. Sitten
raja-arvo (h -> 0) ((e ((x h) - e(x))/h) = e^x raja-arvo (h -> 0)((e^h - 1)/h)) = e^x.
4 Jos kaikkea sanottua pidetään itsestään sevänä asiana joka ei kaipaa todistusta niin eikös sitten tunnettuna totuutena jo voitaisi yhtä hyvin pitää tuota raja-arvoa 1 eikä jäisi muuta todistettavaa kuin kirjoittaa tuo äskeinen kaava
Ohman
En minä ymmärrä miksi luonnollisen logaritmin käyttö tässä nyt niin moitittaavaa on sehän on käyty läpi jo paljon ennen näitä juttuja.
Tuon minun tekeleeni voi kyllä tehdä myös niin, että siitäkin putkahtaa esiin se e:n lukuarvo lukujonon raja-arvona.
Laitan tohon nyt vielä sen infinitesimalilaskentaa hyväksikäyttävän kaikkein helpoimmankin tavan.
Minulla kun on 70-luvun alussa ainakin painettu, jos ei tehtykin, venäläinen oppikirja, niin siinä tuota laskentaa esitellään, ja käytetäänkin. (Harjoitustehtävänäkin on laskea limes sinx/x kun x lähenee nollaa.)
Se oli muotia joskus 60-luvun puolivälissä, ja siksi kai sitä tuossa kirjassa on. Taikka mistä minä tiedän vaikka olisi Venäjällä vieläkin esillä.
Nykypäivänä se ainakin täällä meillä on unohdettu tai peräti diskattu, ja sillähän tuo menee yhdellä rivillä.
http://aijaa.com/MtyPbg
Minähän olen koko ajan ollut sitä mieltä, että se esitys ei kestä päivänvaloa, ja olen siihen nyt saanut parikin vahvistusta. Lukion kirjassa se kuitenkin noin oli. Kai se on kirjan tekijöillä ollut jonkinlainen ongelma se todistus, kun tommoiseen on päädytty.
Ongelma teillä on koko ajan eksponenttifunktion määritelmä, määritelmä on selvä kun eksponentti on kokonaisluku, tai rationaaliluku. Ongelman tuo irrationaalilukueksponentit eli oikeastaan kysymys on siitä, että miten te tarkalleen ottaen määrittelette funktion exp(x). Jos sen määrittelee ln(x) käänteisfunktiona, niin sitten pitää ensin määritellä ln(x) ja yleensä analyysissä lähdetään liikkeelle siitä, että
annetaan määritelmä toki yleensä hieman perustellaan miksi näin on tahdottu tehdä
ln(x)=integraali 1..x 1/t dt
Tämän jälkeen todistetaan peruslaskusäänöt
ln(xy)=ln(x) ln(y)
ln(x^y)=yln(x)
ln(1)=0
Selvästi ln(x) on derivoituva ja D ln(x)=1/x joten se on myös jatkuva
Sitten todetaan, että ln(x) on aidosti kasvava ja jatkuva joten sillä on käänteisfunktio
joka nimetään exp(x). Määritellään neperin luku e=exp(1), myöhemmin voi todistaa että tämä on sama luku kuin perinteinen määritelmä antaa lim x->ääretön (1 1/x)^x.
Sitten todistetaan eksponentin laskusäännöt ja lopulta käänteisfunktion derivaatan avulla todetaan D exp(x)=exp(x)
Teidän todistuksissanne on koko ajan ollut ongelma että ette ole määritelleet exp(x) funktiota oikeastaan ollenkaan.