Jos katiskalla saa hauen 7 vuorokauden aikana todennäköisyydellä 97,2004 %, niin millä todennäköisyydellä hauen saa yhden vuorokauden aikana? Voit olettaa kalan katiskaan menon täysin satunnaiseksi (Poisson prosessiksi). Numeerisen vastauksen laskemiseen voit käyttää apuvälineitä.
TN-laskuharjoitus 4
laskee
39100
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 39
Vanhimmat
Oisko 0,4?
kannatetaan
Edellyttäen, että "saa hauen" tarkoittaa, että saa vähintään yhden hauen.
Olisi pitänyt sanoa, että "saa yhden hauen", jos sitä tarkoitettiin.
Kuinka saat vaikkapa kolme haukea saamatta yhtä haukea?
(1-p)^7 = 1-0,972
P(N(t) = k) = e^(-zt) *(zt)^k / k!
P(N(7) = 1) = 0.972004 = e^(-7z) * 7*z,tästä ratkaistaan z ja
P(N(1) = 1) = e^(- z) * z
Ohman
f(z) = e^(- 7 z) * 7 z
f'(z) = 7 e^(- 7 z) (1 - 7 z) = 0 joten z = 1/7
Kun z < 1/7 niin f'(z) > 0 ja kun z > 1/7 niin f'(z) < 0. Kyseessä on siis tuon funktion maksimi.
f(1/7) = 1/e = 0.36788 joten f ei saa arvoa 0.972004 missään!
Siis ei olisi mitään intensiteettiä z joka ajassa 7 antaa yhden tapauksen todennäköisyydelle arvon 0.972004.
Hauskaa!
Vai onko näin...?
Ohman
Onkohan+tuo+katiska+johon+mahtuu+vain+yksi+hauki?+Meinaan+jos+mahtuu+useampia,+on+aika+mahdotonta+että+"täsmälleen+yksi+hauki"+tn+on+97+%.+Tapauksille+"ei+yhtään+haukea"+ja+"kaksi+haukea"+pitäisi+olla+huomattavasti+suuremmat+todennäköisyydet+kuin+enintään+3+%.+Vai+oliko+tehtävä+että+7+vrk+aikana+saa+ainakin+yhden+hauen+97+%+todennäköisyydellä?
Ajassa t saatuja haukia kuvaa ns. "counting function" N(t) joka kertoo ajassa t sattuneiden tapausten lukumäärään.
Poisson-prosessissa (N(t), t >= 0) lisäykset ovat stationaarisia ja riippumattomia ja kun s < t on P(N(t) - N(s) = k) = e^(- x (t - s)) * (x * (t - s))^k / k!
Parametri x kuvaa laskettavien tapausten keskimääräistä tapahtumisvauhtia aikayksikössä.
Joten kyllähän tehtävän pitäisi olla ihan selkeä.
Ohman
Et+taida+pystyä+ajattelemaan+asiaa+lainkaan+käytännön+kannalta;+tehtävässä+kun+puhuttiin+kalanpyydyksestä.+Uskon+kyllä+että+teoreettisesti+voidaan+kehittää+"pyydyksiä"+joille+"täsmälleen+yksi+saaliskala"+on+97+%+todennäköisyys+ja+muille+(0,+2->ääretön)+jää+se+3+%.+Mutta+ei+käytännössä.+Siksi+uskoisin+että+tehtävässä+joko+tarkoitetaan+pyydystä+joka+voi+kaapata+vain+yhden+saaliskalan+kerrallaan+tai+sitten+tarkoitetaan+"vähintään+yksi+hauki+7+vuorokauden+aikana".+Ja+jos+ajatellaan+poissonjakaumaa+jolla+lamda+(odotusarvo+ja+varianssi)+on+yksi,+ovat+0+ja+1+tapausta+todennäköisyydet+yhtä+suuret.
Koska keskustelu siirtyi tyylilajiin "et taida pystyä ajattelemaan..." en oikein mielelläni vastaisi mutta sanon nyt kuitenkin tämän:
Aloittaja sanoi, että kyseessä on Poisson-prosessi.
Siinä E(N(t) - N(s)) = x (t - s) ja Var(N(t) - N(s)) = x(t-s) missä x (tai 1. kommentissani z) on intensiteetti.
Tässä tehtävässä pitäisi Poisson-prosessin avulla laskea tn sille, että kun on odotettu 7 päivää niin katiskaan on mennyt yksi hauki.Tn sille että katiskaan on mennyt k haukea tuon 7 päivän aikana on
P(N(7) = k) = e^(- 7 x) ( 7x)^k / k!
Tämä on laskentaprosessi. Sattuu tapahtumia, olivat ne sitten mitä hyvänsä (radioaktiivinen hajoaminen, konerikot,...) ja lasketaan montako tapahtumaa on sattunut tietyn ajan t kuluessa. Poisson-prosessi kehittyy edellä kertomani mukaisesti.
Jos taas ajatellaan mainitsemaasi Poisson-j a k a u m a a, jonka parametri x = 1, on
P(N = 0) = e^(-1) * 1^0 / 0! = 1/e ja P(N = 1) = e^(- 1) * 1^1/1! = 1/e.
Mutta kun meillä on tuo laskentaprosessi niin
P(N(7) = 0 ) = e^(- 7 x) * (7x)^0 / 0! = 1/e^(7x) ja
P(N(7) = 1) = e^(-7 x) * (7x)^1 / 1! = (7x) / e^(7x)
Ohman
Vielä varmuuden vuoksi: Tehtävässä on siis annettu P(N(7) = 1). Tämän avulla pitäisi laskea, mikä on tuo intensiteetti x ja kun se tunnetaan saadaan P(N(1) = 1) = e^(-x) * x.
Mutta löytyykö tuollaista arvoa? Kts. kommenttini / 9:55.
Ohman
Meillä on todellakin suuria vaikeuksia ymmärtää toisiamme, mutta jos vielä yritän. Unohdetaan nyt hetkeksi se päivittäinen kalansaalis ja tarkastellaan vain viikottaista saalista (7 päivän saalista), ja merkitään kalojen määrien todennäköisyyksiä katiskassa P(0), P(1), P(2) jne. Tehtävässä oletetaan että P(1)=0,97. Tällöin on mahdotonta että tuo viikottainen saalis on poissonjakautunut; sen sanoo jo terve järki ja nähdäkseni Ohmannin laskelmatkin osoittavat sen. Jos jakauman odotusarvo ja varianssi on 1, ovat sekä P(0) että P(1) 1/e. Eli kyseessä pitää olla jokin muu jakauma.
Tai sitten tehtävässä on virhe. Yksi mahdollisuus on että kyseessä on katiska johon ei mahdu kuin yksi hauki kerrallaan. Silloin ei ole kyseessä poissonjakauma ja vastaukseksi tulee 0,4, jonka mainitsin ketjun toisessa viestissä.
Toinen mahdollisuus on että vähintään yksi hauki saadaan 7 vuorokauden aikana. Eli tuo 0,97 = P(1) P(2) .... Silloin tehtävä on ratkaistavissa. Vähintään yksi hauki vuorokaudessa on kai tuo 0,4. Täsmälleen yksi hauki vuorokaudessa... en viitsi laskea.
Pikku huomautus: mistä sinä saat tuon "odotusarvo on 1"? Tässähän sanottiin vain että tn että 7 päivässä tulee yksi kala on 0.972004.Odotusarvosta ei puhuttu mitään.Olisiko laskee erehtynyt puhuessaan Poisson-prosessista?
Sinä puhut jatkuvasti niinkuin kyseessä olisi satunnaismuuttuja mutta minun mielestäni tässä puhutaan stokastisesta prosessista, jota laskee ehdotti Poisson-prosessiksi
N(t) tietyllä arvolla t on Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja jonka todennäköisyydet ovat P(N(t) = k) = e^(-tx) * (tx)^k / k!.Ja tuo x on se intensiteetti. Mutta se prosessi on (N(t), t >= 0).
Ohman
Ja siis tietyllä t:n arvolla on E(N(t)) = xt ja Var(N(t)) = xt.
Ja tässä kysytään mikä on P(N(1) = 1) kun tiedetään että P(N(7) = 1) = 0.972004.
Ohman
Otin vain vertailukohdaksi tuon poissonjakauman jossa P(0)=1/e, P(1)=1/e, P(2)=1/2e jne ja odotusarvo 1. Jos viikon kalansaalis on 1 todennäköisyydellä 0,97 niin silloin odotusarvon täytyy olla lähellä 1. Mutta kuten todettu, ei ole poisson. Mutta jos viikkosaalis on vähintään 1 todennäköisyydellä 0,97, silloin voi olla poisson. Esim poissonjakaumalla jolla lamda=4, P(0)=0,019 ja P(>=1)=0,981.
Jatketaanpa vielä tuota resoneerausta. Arvolla 3,5 kalaa/viikko saadaan poissonjakaumasta P(0)=0,030 ja siis P(>=1)=0,97 eli kohtuullisen lähelle tehtävässä annettuja arvoja. Silloin lamda=3,5/7päivää=1/2päivää. Todennäköisyysfunktio on siis:
p(i)=e^(-1/2)*(1/2)^i/i!
Saadaan että p(0)=0,606 eli jokseenkin yhdenpitävää tuon aiemmin tehdyn yksinkertaisen laskelman kanssa. Vastaavasti p(1)=0,303 ja p(>=1)=0,394. Lamdalle otin hieman väärän arvon, oikeilla tulisi 0,6, 0,3 ja 0,4.
Unohdan nyt laskeen Poisson-ohjeen jonka antoi tahallaan (tuhmaa) tai ymmärtämättömyyttään (tyhmää). Jos käsitellään ihan tavallisena toistokokeena niin tn saada yksi hauki päivän aikana on 0,6396707.
(Käytännön mies sanoisi sitten tietenkin, ettei katiskaan kerralla mahdu kuin rajallinen määrä haukia mutta minä seuraankin katiskan tilannetta herkeämättä ja otan kalat heti pois kun niitä ilmestyy. Näin päästään lähemmäs teoreettista arvoa.)
Ohman
Ja tn että ei saada haukea päivän aikana on 0,36. Ja tn että ei saada yhtään haukea viikossa on 0,36^7=0,00078. Ei nyt oikein stemmaa.
Jos p = 0, 6396707 on tn että saadaan yksi hauki päivässä niin 1 - p on tn että saadaan 0 haukea tai vähintään 2 haukea. Laskisit nyt oikein jos kritisoit.1 -p e i
o l e tn saada 0 haukea päivässä.
Eikä tn saada 0 haukea viikossa ole tuo laskemasi.
Ohman
P.S. Tuolla antamallani p:n arvolla tulee tehtävässä annetuksi tn:ksi 0,972006.
Ohman
Omassa laskelmassani poissonjakauman lamda tarkka arvo on 3,5756 kalaa per 7 vrk. Siten lamda on 0,511 kalaa vrk kohti. Silloin saadaan todennäköisyydeksi täsmälleen 1 kala päivässä 0,511*e^(-0,511)=0,306 ja todennäköisyydeksi ainakin 1 kala päivässä 1-e^(-0,511)=0,4.
Sinä tosiaankin laskeskelet "omiasi".
Kuten jo sanoin, saamallani p:n arvolla tulee tn:ksi että viikossa saadaan yksi hauki, luku 0,972006 joka poikkeaa tehtävässä annetusta vasta kuudennessa desimaalissa.
Aiheetta enempään tästä tehtävästä.
Ohman
Niin laskeskelen. Koitetaanpa toisella tavalla. Jos q on todennäköisyys että päivän aikana katiskaan ei tule yhtään kalaa, silloin q^7=0,028, mistä saadaan q=0,60. Todennäköisyys että tulee ainakin yksi kala päivässä on siis 0,40 eli sama kuin edellä. Jos p on todennäköisyys että yksi kala tulee päivän aikana, on p p^2 p^3... todennäköisyys että päivän aikana tukee ainakin yksi kala. Tuon summa on p/(1-p) ja sen pitäisi olla 0,40. Tuleekin 2/7=0,286. Poissonilla sain 0,306 eli jotain häikkää on...
Palaan nyt kuitenkin tehtävään, sillä "häikkää on".
Merkillisesti tuo "alitajunta",tai mikä sitten lienee,toimii. En ajatellut koko tehtävää kun äkkiä mieleeni juolahti että olen laskenut väärin. Se, että sain tuon tarkan 7 päivän tn:n johtui vain siitä, että virheellisen laskutavan numerolaskut olivat oikein.
Saamani tulos on siis väärin. Tekee mieli palata taas tuohon Poisson-prosessiin mutta päädyinhän kommenteissani /17.9. 15:40 ja 18.9. 9:55 siihen, ettei sellaista Poisson-prosessin intensiteettiä löydy joka antaisi tuon tn:n 0.972004.
Joten enpä juuri nyt tiedä onko häikkä tehtävässä vai laskuissani.
Ohman
Jos tehtävässä olisi:tn saada vähintään yksi hauki 7 päivässä = 0.972004, niin silloin intensiteetti x (se lambda tai nyy) saataisiin näin:
1 - e^(-7x)*(7x)^0 /0! = 1- e^(-7x) = 0.972004 josta x = 0.5108134 ja
tn saada yhdessä päivässä täsmälleen yksi hauki olisi
e^(- 0.5108134) * 0.5108134 = 0.306492 ( WA:n laskemana)
Ohman
Kerrankin samaa mieltä, eli sama tulos jonka tuolla edellä sain. Tuolla simppelimmällä tavalla saadaan oikein tapaukset "ei yhtään kalaa päivässä" ja "vähintään yksi kala päivässä" mutta ei "yksi kala päivässä". Oikea tulos saadaan esim. jakamalla päivä pienempiin osiin, laskemalla "ei yhtään kalaa päivässä" perusteella osaa vastaava todennäköisyys ja sitten binomikaavalla todennäköisyys tapaukselle "yksi kala päivässä".
Voihan tuota laskeen tekstiä "saa hauen" tulkita niin että saa vähintään yhden hauen. Saahan hauen silloin kun saa 1,2,3,... haukea.
Silloin pitäisi kai myös tuo päivän juttu tulkita niin, että saa päivässä hauen kun saa vähintään yhden hauen. Tämän tn on
1 - e^(- x*1)* (x*1)^0/0! =1 - e^(-x)= 0.666646 tuolla antamallani intensiteetin x arvolla.
laskee taiskin harjoittaa kielellistä jumppaa tässä tehtävässä matemaattisen sijasta.
Ohman
Taas tuli virhe. Tn saada yhdessä päivässä vähintään yksi hauki on 0.399993. Jäi äsken numerolaskussa - merkki pois eksponentista.
Ohman
Tai helpommalla tavalla laskien:
(1-p)^7=1-0,972004 -> p=0,399993
Ni niin, tulihan sieltä konsensus. Näissä sanallisissa tehtävissä kun on aina tehtävä jotain oletuksia. Jos tosiaan kysytään, saako hauen viikossa, tai näkeekö keltaisen auton päivän aikana, niin riittää yksi havainto tai sitten useampia. Jokuhan tuolla jo totesikin, että jos tarkoitettaisiin "tasan yksi hauki", asia olis ilmaistava selkeämmin.
Todennäköisyyslaskuissa on syytä olla tarkka ja käyttää vähintään, täsmälleen ja korkeintaan termejä, muutoin tulee helposti väärintulkintoja.
Otetaanpa jatkoksi seuraava. Kalastajan kokemuksen mukaan kuha jää katiskaan keskimäärin kolmen päivän välein ja hauki keskimäärin viiden päivän välein. Nämä kalansaantitajuudet voidaan olettaa vakioiksi ja toisistaan riippumattomiksi. Kun kalastaja laskee veteen tyhjän katiskan millä todennäköisyydellä katiskassa on vuorokauden kuluttua:
a) joko yksi kuha tai yksi hauki
b) sekä yksi kuha että yksi hauki.
Haukien Poisson-prosessi olkoon H(t) ja sen intensiteetti on x = 1/5.
Kuhien Poisson-prosessi olkoon K(t) ja sen intensiteetti y = 1/3
P(H(t) = k) = e^(-xt) (xt)^k / k!
P(K(t) = n) = e^(-yt) (yt)^n / n!
Tehtävässä k = n = t = 1.
Ohman
Tarvitaan myös k = n = 0.H(1) ja K(1) ovat riippumattomia stokastisia muuttujia.
b)kysytty tn = P(H(1) = 1 & K(1) = 1) = P(H(1) K(1) = 1) = P(H(1) = 1) P(K(1) = 1)
a) kysytty tn = P((H(1) = 0 & K(1) = 1) V (H(1) = 1 & K(1) = 0) V (H(1) = 1 & K(1) = 1)). Voidaan kirjoittaa myös näin: tn = P((H(1) K(1) = 1) V (H(1) K(1) = 1))
Kohdan a konnektiivin "tai" olen käsitellyt kuten logiikassa on tapana. Jos tehtävän antaja tarkoittaa tuolla ilmaisulla "joko...tai" sitä eksklusiivista "tai"-konnektiivia niin kaava on hiukan toinen.
Ja jos a-kohdassa tarkoitetaankin taas sitä että ehto toteutuu kun katiskassa on vähintään yksi hauki tai vähintään yksi kuha on kaavaa muutettava sitten sen mukaisesti. Sama koskee b-kohtaa.En nyt rupea kaikkia mahdollisia viisasteluja tässä käsittelemään. Helposti nuo muutkin kaavat löytyvät.
Ohman
a-kohdassa katiskassa on täsmälleen yksi kala päivän päästä. b-kohdassa siellä on täsmälleen kaksi (erilaista) kalaa.
Silloin a-kohdassa tn = P((H(1) = 1 & K(1) =0) V(H(1) = 0)& K(1) = 1))=
P(H(1) K(1) = 1).
b-kohta on kuten jo sanoin.
Ohman
Todennäköisyys ei yhtään kuhaa vrk aikana on 0,717, tasan yksi kuha 0,239 ja vähintään yksi kuha 0,283. Ja kuhien saannin odotusarvo on 0,333.
Hauella vastaavat luvut ovat 0,819, 0,163, 0,181 ja 0,2.
Sekä yksi kuha että yksi hauki on siis 0,239*0,163=0,039. Yksi kuha tai yksi hauki on 0,239 0,163-0,039=0,363.
Helpoimmin tosiaan poissonkaavalla. Binomikaavallakin pääsee kohtuullisin likiarvoihin jos valitsee riittävän lyhyen aikayksikön: esim. tunti ja tasan yksi kuha päivässä:
24*(1/72)*(1-1/72)^23=0,242
Tuloksesi "1 kuha tai 1 hauki" on väärin. Tämän pitää olla P(K(1) H(1) = 1) =
(1/3 1/5)^1 / 1! * e^-(1/3 1/5) = 8/15 * e^(- (8/15)) = 0,313
Kyseessä on riippumattomien muuttujien summan jakaumasta (konvoluutio).
Voi myös noilla sinun luvuillasi imaista näin: 0,717 * 0,163 0,239 * 0,819 = 0,313.
Ohman