B) kohta tulisi ratkaista a) on valmis. Kiitos jo etukäteen
4. Pekka sijoittaa joka vuoden alussa 1200 € korkeakorkoiselle tilille, jonka korkokanta on 2,8 %. Korkotuotto
lisätään pääomaan aina vuoden lopussa. Tuotosta maksetaan lähdevero 28 % vuosittain. Pekka aloitti
sijoittamisen vuoden 2002 alussa.
a) Kuinka paljon Pekalla on tilillä vuoden 2010 lopussa (sen jälkeen, kun korko on lisätty pääomaan)?
b) Pekka nostaa sijoituksensa sen vuoden lopussa, jona summa ylittää 20 000 €. Mikä on tämä vuosi?
4. Pekka sijoittaa joka vuoden alussa 1200 € korkeakorkoiselle tilille, jonka korkokanta on 2,8 %. Korkotuotto
lisätään pääomaan aina vuoden lopussa. Tuotosta maksetaan lähdevero 28 % vuosittain. Pekka aloitti
sijoittamisen vuoden 2002 alussa.
a) Kuinka paljon Pekalla on tilillä vuoden 2010 lopussa (sen jälkeen, kun korko on lisätty pääomaan)?
b) Pekka nostaa sijoituksensa sen vuoden lopussa, jona summa ylittää 20 000 €. Mikä on tämä vuosi?
Vastaukset 3
Vanhimmat
16 000 * k^x-vuotta = 20 000 <=> k^x = 20/16
k = 1 {0,028 * (1 - 0,28)}
vero otetaan koron määrästä
a^x=b
x=lnb/lna
Vuoden 2002 alussa sijoitetaan s.Vuoden lopussa tämä on S1 = s*1,028 - 0,28 *0,028 * s = s* 1,02016.
Vuoden 2 alussa sijoitetaan taas s ja vuoden 2 lopussa on rahaa siis
S2 = S1*1,02016 s * 1,02016 = s *(1,02016^2 1,02016)
Vuoden n lopussa rahaa on
Sn = s*(1,02016^n ... 1,02016) = s*1,02016 * (1 ... 1,02016^(n-1)) =
s*1,02016 * (1,02016^n - 1) / (1,02016 - 1).
s = 1200 ja täytyy olla Sn>= 20000 joten
1,02016 ^n >= (20000/1200) * (0,02016 / 1,02016) 1 = 1,32936
Jos n = 14 on 1,02016^14 = 1,3224 eikä tämä riitä.Kun n= 15 on
1,02016^15 = 1,3490 ja tämä on tarpeeksi.
Vuoden 2016 lopussa Pekalla on 21193 euroa.Vuoden 2015 lopussa olisi vain 19577 euroa.
Ohman
Selitän vielä hiukan seikkaperäisemmin vaikka ei taida kysyjä enää lukea kun on jo vastauksensa saanut.Ehkä tästä jollekin toiselle on hyötyä.
Ensinnäkin tuo korko. Jos talletuskorko on q (tässä q = 0,028) niin vuoden alussa talletettu summa A on kasvanut vuoden lopussa summaksi A(1 q).Se on siis kasvanut määrällä qA.Mutta tästä kasvusta on maksettava veroa määrä v q A (tässä v = 0,28).Seuraavan vuoden alussa talletettavaksi jää (1 q)A - vqA = (1 q - vq) A eli todellinen vuotuinen korko onkin p = ( q - vq) (tässä tehtävässä p = 0,028 - 0,28 * 0,028 = 0,72 * 0,028 = 0,02016).
Vuoden n lopussa Pekan siihen mennessä kertynyt säästö(korkoineen) olkoon S(n).Vuoden n 1 alussa Pekka tallettaa tämän summan ja lisäksi määrän a (tässä a = 1200). Vuoden n 1 lopussa tästä on tullut määrä
(1) S(n 1) = (S(n) a) (1 p).
Mutta S(n) = (S(n-1) a) (1 p) joten S(n 1) =((S(n-1) a)(1 p) a) (1 p)= (S(n-1) a) (1 p)^2 a(1 p) = S(n-1)(1 p)^2 a((1 p)^2 (1 p))
Siis S(n 1) = S1(1 p)^n a^((1 p)^n (1 p)^(n-1) ...(1 p)) Mutta S1 = a(1 p) joten lopulta
S(n 1) = a((1 p)^(n 1) (1 p)^n ... (1 p)) = a (1 p) ((1 p)^(n 1) - 1) /((1 p)-1)).
Kun n 1 = 15 niin tehtävässä S(15) = 1200*1,02016*((1,02016^15 - 1)/0,02016) = 21195.
Kun n= 14 niin S(14) = 19576 ja tämä ei vielä riitä.
n= 14 on tehtävässä vuosi 2015 ja vuosi n 1 = vuosi 15 on 2016
Nähdään myös, että 1,02016 *(19576 1200) = 21195 kuten pitääkin.
Enpä tiedä oliko tämä vähän matemaattisempi selitys aloittajalle sen ymmärrettävämpi kuin tuo aiemmin esittämäni melko numeerinen lasku.
Mutta ajatus on kyllä yksinkertainen: joka vuoden alussa Pekka tallettaa siihen mennessä kertyneet säästöt 1200.Tästä kaava (1).
Ohman