Oletetaan, että kompleksiluvuille a, b, c pätee a b c=3, a^2 b^2 c^2=5, a^3 b^3 c^3=7. Laske a^5 b^5 c^5.
Algebran ongelma
epäosaaja
57192
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 57
Vanhimmat
Kaipa siinä pitää yrittää sellaista, että a=x , b=y zi, ja c=y-zi, niin tuo eka ehto täyttyy.
Siitähän tulee heti että:
x 2y=3
Raakasti vaan kertomalla auki tulee kaksi muuta yhtälöä:
x^3 2y^3-6yz^2=7
x^2 2y^2-2z^2=5
Wolframin avustuksella x=-0.24
Lisäksi on:
b^3 c^3=7-x^3
b^2 c^2=5-x^2
b c=3-x
Näistä saadaan ,( ei mahdu kuitenkaan tähän(Fermat)):
a^5 b^5 c^5=x^5 (7-x^3)(5-x^2)-(3-x)/4*((3-x)^2-(5-x^2))^2, ja sijoittamalla x =-0,24 tulee 9.66 Wolframilla
En ymmärrä. Oletat ilmeisesti, että a on reaaliluku. Mutta eihän tämä ole selvää ilman erillistä todistusta.
a on kompleksiluku, sen imaginääriosa on 0. Onhan niitä muitakin kompleksilukuja, jotka täyttävät nuo ehdot, tuo vaihtoehto on vaan ainoa, josta saa jotain irti.
Nuo ehdot rajaavat luvut siten, että yksi on ilman imaginääriosaa ja sitten on oltava liittoluku. Kolme yhtälöä kun vaan on, niin kolme tuntematonta, ja imaginääriosat pitää aina eliminoitua. Todisteluista en niin piittaa.
En tosin tiedä minkä tason tehtävä tässä on kyseessä, jos tämä jotain yliopistomatikkaa on, niin sitten varmaan täytyisi todistaakin se.
Tehtävä on yhdestä kirjasta, jossa on lukiolaisten matematiikkakilpailujen tyyppisiä tehtäviä. Tosin maailmalla on kilpailuissa hankalampia tehtäviä kuin Suomessa, ja tämä on niitä hankalampia. Osaan tehtävistä on annettu kirjassa ratkaisu mutta ei kaikkiin.
Joo, minä en tätä osaa ratkaista ilman että siitä tulisi kolmannen asteen yhtälö. Tuossa on vielä toisellakin tavalla laskettu tuo a, siis se luku, jolla ei ole imaginääriosaa. Kolmatta astetta vaan pukkaa siitäkin.
Tuostahan pitäisi sitten jatkaa samalla menetelmällä, sen viiden asteen summan saamiseksi, mutta sen tein jo eilen, ja se summan lauseke on tuossa ylempänä.
Vastaus on kyllä oikea. Neljännen asteen summa muuten on yllättävästi 9, mutta viidennen ei olekaan 11, vaan 9.667
http://aijaa.com/2ELNtB
http://mathforum.org/library/drmath/view/52861.html
Tuossa linkissä on osoitettu lähtien noista kolmesta yhtälöstä että a^4 b^4 c^4=9 olettamatta luvuista mitään enempää. Joten luultavasti tuo viidensien potenssien summakin voidaan ratkaista samalla tavoin pirunmoisella pyörityksellä.
Täytyy joskus tuota yrittää klaarata.
Tämän tehtävän ratkaisu kuitenkin luultavasti löytyy noista liittolukujen potensseista, mutta jostakin syystä en sitä näe.
Ei tässä muuten olisi sanottu lukujen olevan kompleksilukuja, eihän tuo äijä tuolla linkissäkään puhu kompleksiluvuista yhtään mitään, eli sitä ei olisi tarvinnut sanoa.
No jos tuo tehtävä on matematiikkakilpailusta, siinä kerrotaan lukujen tyyppi, koska ratkaisut ovat kompleksilukuja (joita tosin ei kysytä). Kun yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia, ovat kai useat ratkaisut periaatteessa mahdollisia. Tehtävä antaa ymmärtää että noilla ehdoilla tuo viidensien potenssien summa on yksikäsitteinen. Voidaan todeta että otetaan eräs ratkaisu (vain reaaliosa liittoluvut) ja ratkaistaan tehtävä sen avulla.
Ei tehtävä ole välttämättä mistään kilpailusta vaan se voi olla myös vaikkapa harjoitustehtävä johonkin kilpailuun. Kirjan nimi on Which way did the bicycle go.
Otetaan luvut 1 i, 1 2i ja 1 - 3i. Niiden summa on 3 vaikka ei noissa mitään liittolukuja esiinny.Miksi siis tuo a^5 b^5 c^5 ja nuo muutkin lausekkeet eivät voisi olla reaalisia vaikka summan termit eivät olisikaan ja ilman että niissä esiintyy liittolukuja?
Onko sinulla tuohon liittolukujuttuusi joku päättely?
En nyt ehdi enemmälti tähän tehtävään perehtyä. Vaatinee melkoista lausekkeiden pyöritteyä.
Olisi houkuttelevaa veikata että a^5 b^5 c^5 = 11. Mutta pelkkää spekulaatiotahan se on eikä perustu muuhun kuin noiden muiden lausekkeiden arvoista johtuvaan analogiaan.
Ohman
Kolmen muuttujan symmetristen polynomien avullahan tuo selviää.
Merkitään
p_{100} = a b c = 3
p_{200} = a^2 b^2 c^2 = 5
p_{300} = a^3 b^3 c^3 = 7
p_{500} = a^5 b^5 c^5 = ?
Tällöin saadaan pienen pyörittelyn jälkeen identiteetti
p_{500}=(p_{100}^5-5*p_{100}^3*p_{200} 5*p_{100}^2*p_{300} 5*p_{200}*p_{300})/6,
josta lukuarvojen sijoituksella edelleen
p_{500}=29/3.
Asiaan hieman perehdyttyäni, niinhän tuo näyttää olevan että mikä tahansa tuonmuotoinen symmetrinen potenssisumma on ilmaistavissa alempiasteisten vastaavien potenssisummien summan reaalikertoimilla painotettuina. Merkitseekö sitten että tuo vain reaaliosa liittoluvut on ainoa ratkaisu?
Kolmen muuttujan a,b,c symmetriset polynomit ovat
a b c
ab bc ca
abc
Esim. jos 3:n asteen polynomin nollakohdat ovat a,b ja c niin tuo polynomi on
P(x) = x^3 -(a b c) x^2 (ab bc ca) x - abc.
Ohman
Laskinpa tässä vielä ajankulukseni noiden lukujen a, b ja c kuudensien potenssien summan.
Polynomeille saadaan nyt pienellä pyörittelyllä identiteetti
p_{600}=(p_{100}^6-3*p_{100}^4*p_{200} 4*p_{100}^3*p_{300}-9*p_{100}^2*p_{200}^2 12*p_{100}*p_{200}*p_{300} 3*p_{200]^3 4*p_{300}^2)/12,
josta lukuarvojen sijoituksella edelleen
p_{600}(a,b,c)=a^6 b^6 c^6=19/3
On tietysti selvää, että ratkaisun täytyy perustua siihen että tuo 5:n asteen lauseke voidaan konstruoida muiden annettujen lausekkeiden avulla. Enpä nyt lähde tuota konstruktiota pyörittelemään esiin enkä myöskään tarkastamaan tuota MKS:n antamaa lauseketta.
Eihän tässä pyydettykään ratkaisemaan mitä luvut a,b ja c ovat vaan vain laskemaan tulos annettujen ehtojen avulla.
Mistä tuo päätelmä reaaliosa liittoluvut johtuu? Ainakin näytin aiemmassa kommentissani yksinkertaisen esimerkin jossa kolmen kompleksiluvun summa on reaalinen vaikka niissä ei liittolukuja esiinnykään.
Ohman
Kun nyt laskutuulella olet niin laskepa vielä se neljänsien potenssien summa. Saatko 9?
En siis väitä että et saa, kysyn vain tarkastusmielessä kun en nyt itse ole sillä päällä et rupeaisin noita kaavoja pyörittämään.
Ohman
Reaaliosa plus liittoluvut päätelmä johtuu,siitä, että imaginääriosat täytyy eliminoitua myöslaskettaessa a^2 b^2 c^2, koska siitä tulee 5, sekä vielä laskettaessa a^3 b^3 c^3, koska siitä tuli 7.
En löytänyt siihen muuta mahdollisuutta kuin liittoluvut ja yksi luku, jossa ei ole imaginääriosaa.
Mutta voi sen tehdä niinkin ettei käytä koko kompleksilukujutskaa ollenkaan, eli pyyhin sen pois, ja jatkan laskun loppuun asti siitä mihin eilen jäin:
http://aijaa.com/HDKP1M
Ihan hyvä likiarvo siitä tuli, vaikka sen kolmannen asteen yhtälön ratkaisin haarukoimalla. Lopullinen summan arvokin tulee hyvin kivuttomasti funktiolaskimella.
Neljänsien potenssien summaksi tulee tosiaan 9 ja viidensien potenssien summaksi 29/3. Nämä voidaan laskea vaikkapa Gröbnerin kannoilla. Vaikkapa Sage laskee tällaiset hetkessä:
sage: R.<a,b,c,s> = QQ[]
sage: f1 = a b c - 3
sage: f2 = a^2 b^2 c^2 - 5
sage: f3 = a^3 b^3 c^3 - 7
sage: f4 = a^5 b^5 c^5 - s
sage: I = R.ideal([f1, f2, f3, f4])
sage: G = I.groebner_basis()
sage: G
[c^3 - 3*c^2 2*c 2/3, b^2 b*c c^2 - 3*b - 3*c 2, a b c - 3, s - 29/3]
sage: f4 = a^4 b^4 c^4 - s
sage: I = R.ideal([f1, f2, f3, f4])
sage: G = I.groebner_basis()
sage: G
[c^3 - 3*c^2 2*c 2/3, b^2 b*c c^2 - 3*b - 3*c 2, a b c - 3, s - 9]
sage:
Tai oikeastaan tuossa pitäisi vielä tarkistaa, että ideaali on nolladimensionaalinen, jolloin ideaalin virittämä varisto on äärellinen ja tarkistaa vielä rationaalilukujen algebrallisessa sulkeumassa olevat ratkaisut. No, eipä niitä löytynyt:
sage: f1 = a b c - 3
sage: f2 = a^2 b^2 c^2 - 5
sage: f3 = a^3 b^3 c^3 - 7
sage: f4 = a^6 b^6 c^6 - s
sage: I = R.ideal([f1, f2, f3, f4])
sage: G = I.groebner_basis()
sage: G
[c^3 - 3*c^2 2*c 2/3, b^2 b*c c^2 - 3*b - 3*c 2, a b c - 3, s - 19/3]
sage: I.dimension()
0
sage: V = I.variety()
sage: V
[]
sage: V = I.variety(QQbar)
sage: V
[{s: 6.333333333333334?, c: -0.2400118097176259?, b: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I, a: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I},
{s: 6.333333333333334?, c: -0.2400118097176259?, b: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I, a: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I},
{s: 6.333333333333334?, c: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I, b: -0.2400118097176259? 0.?e-17*I, a: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I},
{s: 6.333333333333334?, c: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I, b: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I, a: -0.2400118097176259? 0.?e-35*I},
{s: 6.333333333333334?, c: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I, b: -0.2400118097176259? 0.?e-17*I, a: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I},
{s: 6.333333333333334?, c: 1.620005904858813? 0.3914357752931970?*I, b: 1.620005904858813? - 0.3914357752931970?*I, a: -0.2400118097176259? 0.?e-35*I}]
sage: s0 = V[0][s]
sage: s0.exactify()
sage: s0
19/3
Neljänsien potenssien summalle saadaan identiteetti
p_{400}=(p_{100}^4-6*p_{100}^2*p_{200} 8*p_{100}*p_{300} 3*p_{200}^2)/6,
josta lukuarvojen sijoituksella edelleen
p_{400}=9
Symmetrisiin polynomeihin liittyvät tehtävät taitavat olla melko tavanomaisia erilaisissa matematiikkakilpailuissa, esim. matematiikkaolympialaisissa. Epäilen, että tällaisten tehtävien vaikeus johtuu pitkälti siitä, kun niitä ei (ainakaan Suomen) kouluissa opeteta. Lukion pitkän matematiikankin vahvasti suorittaneille voi jäädä näistä se naiivi käsitys, jonka joku toi tässäkin ketjussa aikaisemmin esille.
Olisikohan vain niin että tämä aihe on sen verran syrjässä "valtavirrasta" että kun kaikkea ei ehditä opettaa niin tämä on jätetty syrjään. Sama koskee muitakin alueita, esim. nuo tällä palstallakin keskustellut osamurtoluvut.
Eipä asioita kannattane vain matematiikkakilpailujen takia opettaa kuin ehkä erikoisissa niihin valmistautumisryhmissä.
En kylläkään ole minkäänlainen pedagogi joten käsitys on vain ihan ikiomani.
Ohman
No ensinnäkin, jos on kolme kompleksilukua, on periaatteessa kuusi tuntematonta, ja yleensä tarvitaan kuusi yhtälöä niiden ratkaisemiseksi. Jos yhtälöitä on vähemmän, kuten aloitustehtävässä, voi olla useita ratkaisuja. Mutta tuo tehtävä lähtee siitä että viidensien potenssien summalle on yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan kolmen yhtälön perusteella. Siten, jos löydetään noille kolmelle yhtälölle yksi ratkaisu, sen avulla voidaan laskea myös tuon kysytyn lausekkeen arvo. Mutta jos meillä on kuusi yhtälöä jonka tuo vain reaaliosa liittoluvut toteuttavat, silloin se taitaa olla ainoa ratkaisu.
Sitten noihin symmetrisiin polynomeihin. En ole niihin aikaisemmin perehtynyt mutta idea vaikuttaa aika selvältä. Otetaan vaikka tuo neljännen asteen polynomi:
P(4) = a^2 b^4 c^4 (vähän erilainen merkintä kuin Sinisalolla)
Näyttää aika selvältä että se saadaan summana alempien symmetristen polynomien tuloista. Neljättä astetta tulee tuloista P(1)^4, P(1)^2*P(2), P(2)^2 ja P(1)*P(3) sopivilla kertoimilla. Parametreille a-b tulee neljännen asteen kombinaatioita seuraavasti: a^4, a^3*b, a^2*b^2 ja a*b^3 eli neljä. Valitsemalla noiden polynomitulojen kertoimet sopivasti a^4 termi säilyy ja muut eliminoituvat. Symmetrisyyden vuoksi samoin tapahtuu b-c ja c-a kombinaatioille. Kertoimien määrittämiseksi tarvitsee tarkastella vain noita a-b-termejä.
Jos tuo mitä sanoit pitää paikkansa eli että tuollainen polynomi saadaan summana samanlaisten alempiasteisten polynomien tuloista niin kerro nyt miten a^2 b^2 c^2 saadaan lausuttua polynomin a b c avulla.
(a b c) (a b c) = a^2 b^2 c^2 2 ab 2 bc 2 ca. Millä vakiolla kertomalla saat tästä syntymään a^2 b^2 c^2 ?
Jos taas menetelmä e i toimi tässä niin miksi se toimisi korkeamman asteluvun ollessa kyseessä?
Ohman
Tuohon edelliseen viestiin pieni tarkennus: nuo neljännen asteen kombinaatiot, joilla voi olla erilaiset kertoimet, ovat esim. a^4, a^3*b, a^2*b^2 ja a^2*b*c (a^3*b ja b^3*a on sama kerroin)
Wikipediasta luntaten; tuo sääntö pätee vain kun potenssi on korkeampi kuin muuttujien määrä. Tapauksessamme siis vasta neljännestä potenssista lähtien.
Ok. Kuten kommentistani /11.10. klo 13.21 näkyy pidin kyllä itsekin selvänä että tehtävä ratkeaa annettujen lausekkeiden avulla eli tuo 5. asteen lauseke on lausuttava annettujen alempiasteisten avulla.
Ohman
Pienenä lisätehtävänä voitaisiin ratkaista, mikä on noilla alkuoletuksilla lukujen a, b ja c tulo a*b*c.
Helposti tämäkin ratkeaa.
Oiskohan -2/3
Saman minäkin sain.
Tämä saadaan sijoituksella polynomi-identiteettiin
p_{111} = (p_{100}^3-3*p_{100}*p{200} 2*p_{300})/6,
missä
p_{111} = a*b*c,
p_{100} = a b c,
p_{200} = a^2 b^2 c^2 ja
p_{300} = a^3 b^3 c^3.
Koko tehtävän ratkaisukin menee perinteisellä menetelmällä siten, että ratkaisee ensin tuon lisätehtävän.
http://aijaa.com/73Yqjz
Tohon on puhtaaksikirjoitusvaiheessa(vitsi) lipsahtanut merkkivirhe sinne kolmanneksi alimmalle riville. Korjataan se nyt , jos tätä vaikka joku lukee
Ei se lopputulokseen vaikuta, koska siellä lopussa oleva toinen merkkivirhe sen sopivasti kompensoi.
http://aijaa.com/lYvdrc
Tsek dis aut.
mn/c=Q/a
Hetken ajaksi me dillet voisimme pysähtyä myös ajattelemaan, miten vaikkapa Heronin ja Brahmaguptan kaavat voitaisiin esittää sivun pituuksien potenssisummien avulla. Eikö totta?
No, eipä näytä kukaan kiinnostuneen esittämieni probleemien ratkaisuista. Kerronpa kuitenkin oman ratkaisuni kysymykseeni.
Heronin ja Brahmaguptan kaavojen tavanomaiset esitykset ovat löydettävissä vaikkapa nettisanakirja Wikipediasta. Niinpä emme toista niitä tässä, mutta käytämme pääosin samaa notaatiota.
Heronin kaava antaa kolmion pinta-alan A sen sivujen pituuksien a,b ja c avulla.
Kaava voidaan kirjoittaa muotoon
16*A^2 = p_{200}^2-2*p_{400},
missä
p_{200} = a^2 b^2 c^2 ja
p_{400} = a^4 b^4 c^4
tai muotoon
48*A^2 = p_{100}*(6*p_{100}*p_{200}-p_{100}^3-8*p_{300}),
missä
p_{100} = a b c,
p_{200} = a^2 b^2 c^2 ja
p_{300} = a^3 b^3 c^3.
Yleisemmin Heronin kaava saadaan muotoon
16*A^2 = q*(p_{100}^4-6*p_{100}^2*p_{200} 8*p_{100}*p_{300} 3*p_{200}^2-6*p_{400}) p_{200}^2-2*p_{400],
missä q on vapaasti valittava vakio.
Edellä olevista esityksistä ensimmäinen saadaan vakion q arvolla nolla ja toinen sen arvolla -1/3.
Brahmaguptan kaava antaa jännenelikulmion, ts. nelikulmion, jonka kulmat ovat yhden ja saman ympyrän kehällä, pinta-alan A sivun pituuksien a,b,c ja d avulla.
Kaava voidaan kirjoittaa muotoon
48*A^2 = p_{1000}^4-6*p_{1000}^2*p_{2000} 8*p_{1000}*p_{3000} 6*p_{2000}^2-12*p_{4000},
missä
p_{1000} = a b c d,
p_{2000} = a^2 b^2 c^2 d^2,
p_{3000} = a^3 b^3 c^3 d^3 ja
p_{4000} = a^4 b^4 c^4 d^4.
Eo. kaavat ovat matemaattisesti mielenkiintoisia monestakin syystä. Ensinnäkin ne tarjoavat jälleen yhden esimerkin symmetristen polynomien sovellutuksista. Toisaalta ne kertovat havainnollisella tavalla Heronin ja Brahmaguptan kaavojen sisältämistä symmetrioista. Molemmat kaavat ovat invariantteja kaikkien sivujen järjestyksen permutaatioiden suhteen. Se, mistä tämä johtuu, on pienellä päättelyllä hyvin ymmärrettävissä.
Enpä ehtinyt opetella symmetrisiä polynomeja. Näköjään jotain samantapaista on jo kehitetty ennenkin: https://arxiv.org/pdf/math/0407300.pdf Theorem 1.
Voisiko joku kertoa, mitä ovat nuo merkinnät p_{100} jne?
Muutaman päivän pyörittelyn jälkeen
(a b c ) = 3 JA (a^2 b^2 c^2) = 5 JA (a^3 b^3 c^3) = 7
(a b c)^2 = (a^2 b^2 c^2) 2(ab ac bc), josta sijoitukset antaa
(ab cc bc) = 2
(a b c)^3 = (a^3 b^3 c^3) 3(a b c)(ab ac bc) - 3abc, josta edellä saatujen sulkeiden arvojen sijoituksella saadaan
abc = -2/3
Sitten vaikein sieventely
(a b c)^5 = (a^5 b^5 c^5) 5[(a b c)(ab ac bc) - abc][(a^2 b^2 c^2) (ab ac bc) , joihin sijoittamalla edellä olevat arvot
(a^5¨ b^5 c^5) = 9 2/3.
Ilmeisesti nuo merkinnät p_(100) ja niiden taakse kätkeytyneet lausekkeet helpottavat pyörittelyä. Siispä, mitä ne ovat?
Tuollainen merkintä p_{ijk} tarkoittaa symmetristä polynomia, jossa on kolme muuttujaa, esim a, b ja c, ja nuo i, j ja k ovat potensseja joihin muuttujat korotetaan. Polynomin yksi termi on a^i*b^j*c^k ja muut viisi termiä saadaan permutoiden nuo potenssit. Ja termit lasketaan yhteen.
Polynomissa p_{100} = a b c on kuitenkin vain kolme termiä koska toiset kolme ovat identtisiä. Fakta on että kun symmetrisen polynomin kertaluku on suurempi kuin muuttujien määrä, se voidaan esittää alempiasteisista polynomeista muodostettujen samaa kertalukua olevien tulojen summana. Siten esim.
p_{400} = a^4 b^4 c^4 = x*p_{100}^4 y*p_{100}^3*p_{300} z*p_{100}^2*p_{200} v*p_{200}^2
Kun nuo kehitetään, saadaan neljä yhtälöä x, y, z ja v määrittämiseksi (esim. termien a^4, a^3*b, a^2*b^2 ja a^2*b*c kautta). Ja oikoteitäkin kai on. Eli tuolla tavoin tehtävä voidaan ratkaista rutiininomaisesti.
Helposti tämä kävi.
Lasketaan ensin avuksi:
ab bc ca = ((a b c)^2 - (a^2 b^2 c^2)) /2 =( 9 - 5) /2 = 2
(a b c)^3 = (a b c) ( a^2 b^2 c^2 2ab 2bc 2ca) =
a^3 b^3 c^3 3(ab^2 bc^2 ca^2 a^2 b b^2 c c^2 a) 6 abc
27 = 7 3(ab (a b) bc (b c) ca(c a)) 6 abc = 7 3((a b c) (ab bc ca) - 3 abc) 6 abc =7 3(6 -3 abc) 6 abc =25 - 3 abc joten abc = - 2/3
Ja sitten:
a^5 b^5 c^5 = (a^2 b^2 c^2) (a^3 b^3 c^3) - (a^2 b^3 a^2 c^3 b^2 a^3 b^2 c^3 c^2 a^3 c^2 b^3) = 35 - ( a^2 b^2 ( a b) b^2 c^2 (b c) c^2 a^2 ( c a))
= 35 - ( (a b c) ( a^2 b^2 b^2 c^2 c^2 a^2) - a^b^2 c - b^2 c^2 a - c^2 a^2 b) =
35 - ( 3 (a^2 b^2 b^2 c^2 c^2 a^2) - abc(ab bc ca)) =
35 - (3 (ab bc ca)^2 - 6(ab^2 c b c^2 a c a^2 b) - abc(ab bc ca)) =
35 - ((ab bc ca) (3(ab bc ca) - abc)) - 6 abc (a b c)) =
35 - (2*3*2 - 20 abc) = 35 - 12 40/3 = 23 - 40/3 = 29/3
Ohman
Pieni jatkokysymys nuorille matematiikkaneroille.
Kukapa osaa kirjoittaa lausekkeet luvuille
a) 1/a 1/b 1/c
ja
b) 1/a^2 1/b^2 1/c^2?
Millaisia arvoja nämä saavat noilla annetuilla alkuarvoilla?
Kysymys ei näköjään ollut tarkoitettu minulle mutta kun vastaus nyt kuitenkin heti seuraa siitä mitä edellä kirjoitin niin anti mennä!
a) 1/a 1/b 1/c = (bc ca ab) / (abc) = 2/(- 2/3) = - 3.
b) 1/a^2 1/b^2 1/c^2 = ( b^2 c^2 c^2 a^2 a^2 b^2) / (a^2 b^2 c^2)
(ab bc ca)^2 = a^2 b^2 b^2 c^2 c^2 a^2 2(a b^2 c b c a^2 c^2 b a) =
a^2 b^2 b^2 c^2 c^2 a^2 2 (abc) (a b c) joten
a^2 b^2 b^2 c^2 c^2 a^2 = 4 - 2 * (- 2/3) * 3 = 8 ja siis
1/a^2 1/b^2 1/c^2 = 8 / (- 2/3)^2 = 18.
Ohman
Jos a b c=3, a^2 b^2 c^2=5 ja a^3 b^3 c^3=7 niin miksi a, b ja c eivät voi olla kaikki reaalisia? Miksi kuitenkin ratkaisu on olemassa kun a, b ja c ovat kompleksilukuja? Auttaako tällaiseen symmetristen polynomien teoria?
Minua ei tuo symmetristen polynomien teoria kiinnosta pätkääkään, mutta minä sain noista kolmesta yhtälöstät muoostettua yhtälön: z^3-3z^2 2z 2/3=0.
Myöskin kolmannen asteen yhtälöllä on Diskriminantti, josta näkee juurten laadun ja lukumäärän.
Lyhyesti sanotuna se nyt vaan on -2/27, ja se tarkoittaa sitä , että on yksi reaalijuuri (-0.24), ja kaksi kompleksijuurta, jotka ovat liittolukuja( 1.62±0.39i).
Pitkästi sanottuna se on tossa: http://matematiikkalehtisolmu.fi/2000/2/saksman/saksman.pdf
Vähän sama kuin kysymys, miksi yhtälöllä x^2 1 = 0 ei ole reaaliratkaisua.
"Minua ei tuo symmetristen polynomien teoria kiinnosta pätkääkään, mutta minä sain noista kolmesta yhtälöstät muoostettua yhtälön: z^3-3z^2 2z 2/3=0."
Ööh. Mitä on z lausuttuna a:n, b:n ja c:n avulla?
Näistä
a b c=3
a^2 b^2 c^2=5
a^3 b^3 c^3=7
tulee a^3 3a^2 2a 2/3=0, jossa minä sitten korostaakseni kompleksilukumahdollisuutta muutin a=z.
Tuossa se on: http://aijaa.com/HDKP1M, se sisältää siis pelkkää a:ta, mutta tuo kolmannen asteen yhtälö ratkaistuna antaa sitten sen a:n lisäksi ne kaksi kompleksista liittolukua, jotka ovat b ja c.
Näkyy olevan toi 3a^2:n etumerkki tossa väärin. Laitan vielä sen ratkaistunakin. Se a=-0.24 tuli heposti haarukoimalla, ja sitten vain jaetaan jakokulmassa (a 0.24):lla
Laitan siis tähän: http://aijaa.com/t2yMfN
"Minua ei tuo symmetristen polynomien teoria kiinnosta pätkääkään, mutta minä sain noista kolmesta yhtälöstät muoostettua yhtälön: z^3-3z^2 2z 2/3=0.
Myöskin kolmannen asteen yhtälöllä on Diskriminantti, josta näkee juurten laadun ja lukumäärän.
Lyhyesti sanotuna se nyt vaan on -2/27,"
Täh. Onko yhtälöillä diskriminanttikin? Miten se määritellään? Ainakin polynomin p(z)=z^3-3z^2 2z 2/3 diskriminantti on -8, ellen ole ihan hakoteillä.
Kommentistani / 11.10.2015 b13:07 ja lausekkeille a b c, ab bc ca ja abc saaduista arvoista näkyy, että a,b ja c ovat yhtälön
z^3 - 3 z^2 2 z 2/3 = 0 juuret.Nämä ovat WA:n mukaan
a= - 0.24001 b = 1.6200 0.3914 i c = 1.6200 - 0.3914 i
Nämä toteuttavat siis myös yhtälöt a b c = 3, ab bc ca = 2 ja abc = -2/3.
Ohman
Kummasti tämä sivusto poistaa välilyönnit. Jätin noiden a:n, b:n ja c:n väliin muutaman tyhjän jotta olisivat selvästi luettavissa mutta eikös vaan ne nyt ovat tuossa ihan peräkanaa.Toivottavasti silti luettavissa.
Saako millään konstilla välejä pysymään? Esim. matriisia kirjoittaessa tuo temppuilu on hankalaa.
1 2 3
4 6 6
7 8 9
Noissa on nyt välilyönnit mutta saas nähdä mitä ilmestyy näkyville kun lähetän.
Ohman
Yhteenhän se ne veti kuten arvelin.
Onko apuja tiedossa tähän?
Ohman
Jotain tällaista voisi kokeilla.
1_____2_____3
4_____5_____6
7_____8_____9
Alleviivaausta tuskin kukaan erehtyy pitämään matemaattisena operaattorina.
Noinhan voisi tehdä. Mutta vähän rumannäköinen matriisi siitä syntyy!
Ohman
Tässä olisi hiukan kauniimpi matriisi:
1_2_3
4_5_6
7_8_9
Joo toihanoli iha helppo.
Eksä muka tajuu.