Henkilöt a ja b saapuvat satunnaisesti paikalle saman tunnin sisällä. He odottavat paikalla 10 min. Millä todennäköisyydellä he tapaavat.
Tapaamisen todennäköisyys
0100100
16421
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Eiköhän tuo mene päässälaskuna. Tarkastellaan ensin tilannetta että hlö A tulee aikavälillä 10-50 min, joka edustaa 2/3 koko tunnista. Hlö B:n pitää tulla silloin aikavälillä 10 min ennen - 10 min jälkeen A:n tulon. Tuo aikaikkuna on 1/3 tunnista. Tuon tapauksen osatodennäköisyys on siis 2/9.
Sitten on mahdollisuus että A tulee ensimmäisen 10 min aikana; se edustaa 1/6 tunnista. Jos hän tulee hetkellä 0, B:llä on 10 min aikaa tulla paikalle. Jos hän tulee hetkellä 10 min, on B:llä 20 min aikaa. Tuolla välillä muutos on lineaarinen joten keskimäärin B:llä on 15 min eli 1/4 tunnista aikaa tulla paikalle. Tuon aikavälin osatodennäköisyys on siis 1/24. Vastaava osatodennäköisyys saadaan A:n saapumiselle viimeisen 10 min aikana.
Kaikkiaan siis saadaan todennäköisyydeksi 2/9 1/24 1/24=11/36
a:n ja b:n tuloajat ovat toisistaan riippumattomia jatkuvia satunnaismuuttujia A ja B jotka jakautuvat tasaisesti välille (0,60).
P(A <= B) = P(B <= A) = 1/2
P((0<= A <= 50) = P(0 <= B <= 50) = 5/6. P(50 <=B <= 60) =P(50 <= A <= 60) = 1/6.
Jos A tulee ensin ja 50<= A <= 60 niin P( 50 <= B <= 60) = 1.Jos B tulee ensin ja 50 <= B <= 60 niin P(50 <= A <= B) = 1
P(a ja b tapaavat) = 1/2 (5/6 * 1/6 1/6 * 1) 1/2 (5/6 * 1/6 1/6 *1) = 5/36 1/6 = 11/36.
Ohman
Kirjoitin tuohon vähän väärät luvut, tarkoitin näin:. Kun A <= B ja 0 <= A <= 50 niin P(A <= B <= A 10) = 1/6.
Ja kun A<= B ja 50 <= A <= 60 niin P(A <= B <= 60) = 1.
Itse lasku on oikein
Ohman
Kun b tulee paikalle, niin a ja b eivät tapaa, jos a ei ole paikalla (5/6) eikä hän tule 10 min kuluessakaan paikalle (5/6). Eli 5/6*5/6 = 25/36.
Tämän vastatapauksen todennäköisyys on 1-25/36=11/36.
Miksi ei nikki näinkin oleta että a ei tule paikalle vähintään 10 min ennen tai enintään 10 min jälkeen, jolloin ei-tapaamisen todennäköisyys on 40/60 ja tapaamisen vastaavasti 1/3. Tai jaa tuota 20 min jaksoa 20 minuutin jaksoon (a ei tule 10-9 min ennen... a ei tule 9-10 min jälkeen), jolloin todennäköisyys tapaamiselle on 1-(59/60)^20.
Eli oikea tulos on saatu väärin perustein. Kyllä tehtävässä tarvitsee tarkastella erikseen ensimmäinen ja viimeinen 10 min.
Siis väärin laskettu oikea tulos. Sattuuhan sitä.
Jos henkilö saapuu paikalle hetkellä 59, niin odottaako hän 10 minuuttia?
Aikaikkuna on 70 minuuttia jolloin kohtaaminen voi tapahtua.
Näinhän avauksen voi tulita. Tarkoitus oli kuitenkin, että henkilöt ovat paikalla vain sen yhden tunnin aikana. Eli jos tulevat "viittä vaille", niin jää vain 5 min aikaa olla paikalla jne.
Kieliopillisesti loogisesti tuossa ei ole tulkinnan varaa. On kerrottu "saapuminen ja viipyminen" erikseen.
Sitten kysymys pitäisi muotoilla hieman eri tavalla. Esim. Henkilöt saapuvat saman tunnin sisällä satunnaiseen aikaan ja viipyvät kymmenen minuuttia tai siihen asti kun tunti päättyy, kumpi täyttyy ensin.
tai:
...Millä todennäköisyydellä he tapaavat mainitun tunnin aikana?
Eiköhän tuo ole selvä koska molemmat saapuvat paikalle tietyn tunnin sisällä. Ei odottamisella yli tuon tunnin ole merkitystä, todennäköisyys tavata yliajalla on nolla.
Totta.
Lasken vielä toisella tavalla. Jos meillä on riippumattomat satunnaismuuttujat X ja Y jotka jakautuvat tasaisesti välille (0,1) niin muuttujan l X - Y l distribuutio on
F(x) = P(l X - Y l <= x) = 2x - x^2.
Tuloajat A ja B ovat riippumattomat ja jakautuvat tasaisesti välille (0,60).
a ja b tapaavat sjvs kun l A - B l <= 10.
P(l A - B l <= 10) = P(lA/60 - B/60 l <= 1/6) = 2*(1/6) - (1/6)^2 = 1/3 - 1/36 = 11/36.
Ohman
http://math.stackexchange.com/questions/103015/chance-of-meeting-in-a-bar
myös graafisesti esitettynä
Tuossa linkissä on esitetty hieman eri tehtävä, siinä edellytetään tapaamisen lisäksi 15 min palaveriaikaa. Puheena oleva tehtävä voidaan ratkaista piirtämällä 60x60 neliö, sille halkaisija ja sen molemmin puolin 10 sqrt2 leveät kaistaleet. Noiden kaistaleiden pinta-ala suhteessa koko neliön pinta-alaan on kysytty todennäköisyys.