Moi!
Olisi tarkoituksena ratkaista yhtälö
84x^2 100x 204y^2-160y 8z^2 32z-248xy 48xz-80yz=-32.5 ,
mutta näyttää aika haastavalta. Jostain olisi kuitenkin päästävä liikkeelle.
Olisi tarkoituksena ratkaista yhtälö
84x^2 100x 204y^2-160y 8z^2 32z-248xy 48xz-80yz=-32.5 ,
mutta näyttää aika haastavalta. Jostain olisi kuitenkin päästävä liikkeelle.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tämä yhtälö määrittelee toisen asteen pinnan (ellipsoidi, hyperboloidi tai paraboloidi). Tarkoituksena ilmeisesti olisi tutkia tätä pintaa tarkemmin määräämällä keskipiste, pääakselit ym. Kaiva esille toisen asteen pintojen käsittelymenetelmät. Googleta
quadratic surface.
Esimerkiksi seuraavasta artikkelista pääsee jo hiukan jyvälle:
http://www.win.tue.nl/~sterk/Bouwkunde/hoofdstuk3.pdf
Tosiaan aloituksessa jää epäselväksi mitä haetaan. Kaikkien hallitsevien (=toisen asteen) termien kerroin on positiivinen, joten pinta on ellipsoidi. Kun vielä niiden kertoimien suhteet 84:204:8 ovat noinkin suuret, niin ellipsoidi on hyvin litistynyt.
Ensimmäinen, muttei välttämättä hyvä, ajatus on hakea koordinaatiston kierto, jolla akselit asettuvat xyz-akselien suuntaisiksi - tälllöin xy, xz ja yx -termit katoavat ja siitä on helpompi muodostaa ellipsoidin perusyhtälö, josta sitten näkee tunnusluvut. Sitten kiertofunktion käänteisfunktiolla palautus alkuperäiselle paikallleen. Tämä tapa siis menee matriisilaskennan puolelle.
Hankala tehtävä tällaisessa kommentissa selostettavaksi. Jos nyt sitten ei satu huomaamaan miten yhtälö saatetaan normaalimuotoon, mikä on aina tehtävissä.
Jos kirjoitat yhtälön muotoon
(1) a(1,1) x^2 a(2,2) y^2 a(3,3) z^2 2 a(1,2) xy 2 a(2,3) yz 2 a(3,1) zx 2 a(1,4) x 2 a(2,4) y 2 a(3,4) z a(4,4) = 0
ja sitten määritellään a(i,k) = a(k,i) niin voidaan laskea tuon toisen asteen pinnan invariantit.
Delta = det(a(i,j)) missä (a(i,j) ) on noita kertoimista muodostettu 4x4 - matriisi.
delta = sen 3 x 3 - matriisin determinantti joka saadaan Delta-matriisista jättämällä pois viimeinen pystyrivi ja viimeinen vaakarivi.
S = a(1,1) a(2,2) a(3,3) ja T = a(2,2) a(3,3) a(3,3) a(1,1) a(1,1) a(2,2) - a(2,3)^2 - a(3,1)^2 - a(1,2)^2.
Näiden avulla voidaan päätellä mikä pinta on kyseessä. Erityisesti jos Delta < 0,
S* delta > 0 ja T > 0 kyseessä on ellipsoidi mutta muitakin mahdollisuuksia on aika liuta, en lähde tähän koko taulukkoa kopioimaan lähdekirjastani.
Huomaat, että senkin selvittäminen, mikä pinta on kyseessä, vaatii jonkin verran laskemista.
Yhtälö (1) voidaan siis aina saattaa normaalimuotoon joka esim. juuri ellipsoidilla olisi
x^2/a^2 y^2/b^2 z^2/c^2 = 1.
Miten tämä tapahtuu selviää oppikirjoista, enpä lähde tähän sellaista selostusta tekemään.
Ohman
Ennenkuin joku koiranleuka iskee:
p.o. delta = sen 3x3-matriisin determinantti joka matriisi saadaan a(i,j)-matriisista ...
Ohman
x≈-0.25, y≈-0.25, z≈-2.5
Lukekaa täältä
http://www.wolframalpha.com/input/?i=84x^2 100x 204y^2-160y 8z^2 32z-248xy 48xz-80yz=-32.5&t=crmtb01
Kyllä siitä yhden ratkaisun saa kun tekee yritteen, että x=y , ja vielä, että tätäkin arvoa vastaa vain yksi z.
Eli sijoittamalla x=y , saadulla toisen asteen yhtälöllä kun on kaksoisjuuri, eli D=0 , niin saadaan nuo tässäkin jo mainitut arvot, paitsi, että ne ovat tarkkoja, eikä likiarvoja.