Miksi näin?
25 * (1/0.95) = 500 * (1/0.95) - 500
Eli tämä on loppupäätelmäni seuraavan matemaattisen tehtävän ratkaisun ymmärtämisestä. Ongelma kuuluu siis alun perin näin:
"Kemisti valmistaa sokeriliuosta. Kuinka monta grammaa sokeria kemistin on liuotettava 500 grammaan vettä, jotta hänen valmistamansa liuoksen sokeripitoisuus olisi 5 massaprosenttia?"
Tehtävän voi ratkaista joko laskemalla:
Tapa 1) 500 g * (1/0.95) - 500 = X
tai:
Tapa 2) 500 g * 0.05 * (1/0.95) = X
eli
25 * (1/0.95) = X
Tämän pitäisi siis tarkoittaa, että:
25 * (1/0.95) = 500 * (1/0.95) - 500
Ymmärrän siis kuinka tapa 1 toimii. Eli koska 500 g vettä on 95 % tuosta sokeriliuoksesta, jossa 5 % on sokeria, niin tällöin sokeriliuoksen grammamäärä selviää selvittämällä mikä on 100 % jos 500 g on vain 95 %. Joka selviää siis laskemalla 500 * (1/0.95), ja toisin sanottuna siis 500 / 0.95
Tulokseksi tulee tuon sokeriliuoksen grammamäärä, josta sitten vähennetään veden osuus (eli 500 g), jolloin jäljelle jää vain tuon sokerin grammamäärä.
Tämän siis ymmärrän, mutta en vain millään ymmärrä, että miten sama voidaan laskea ottamalla 500 g:sta 5 %:tia ja käsittelemällä sitä niin kuin se olisi 95 % tuosta halutusta sokerimäärästä (X). Eli, jakamalla tuo 500 g * 0.05 = 25 luvulla 0.95
Kysymykseni siis onkin, että millä ihmeen logiikalla tuo 25 g on 95 % tuosta kysytystä sokerimäärästä, jonka lisäämisen jälkeen liuoksessa olisi 5 % sokeria ja 500 g vettä.
Ymmärrän kyllä että näin se on, ihan lausekkeen käsittelyn osoittamana. Eli:
(500g X) * 0.05 = X
Näin siis koska X halutaan (joka on siis tuo haluttu sokerimäärä), mutta se pitää ensin lisätä 500 g, jotta se voidaan määrittää ottamalla X:n ja 500 g:n summasta 5 % (eli kertomalla se kertoimella 0.05). Ja täten siis homma jatkuu että:
(500g X) * 0.05 = X || Osittelulaki
500 * 0.05 X * 0.05 = X || lasketaan 500 * 0.05
25 X * 0.05 = X || : X
25/X 0.05 = X/X || lasketaan X/X
25/X 0.05 = 1 || - 0.05
25/X = 1 - 0.05 || : 25
1/X = (1 - 0.05)/25 || Käänteisluvut
X = 25/(1 - 0.05) || lasketaan 1 - 0.05
X = 25/0.95
Metkintä 25/0.95 tarkoittaa että X on 100 %, kun 25 on 95 %, jolloin siis kyseinen 100 % selviää laskemalla 25/0.095, mutta kysynkin, että millä maalaisjärjen päättelyllä tuo 25 on 95 % tuosta halutusta luvusta X?
25 * (1/0.95) = 500 * (1/0.95) - 500
Eli tämä on loppupäätelmäni seuraavan matemaattisen tehtävän ratkaisun ymmärtämisestä. Ongelma kuuluu siis alun perin näin:
"Kemisti valmistaa sokeriliuosta. Kuinka monta grammaa sokeria kemistin on liuotettava 500 grammaan vettä, jotta hänen valmistamansa liuoksen sokeripitoisuus olisi 5 massaprosenttia?"
Tehtävän voi ratkaista joko laskemalla:
Tapa 1) 500 g * (1/0.95) - 500 = X
tai:
Tapa 2) 500 g * 0.05 * (1/0.95) = X
eli
25 * (1/0.95) = X
Tämän pitäisi siis tarkoittaa, että:
25 * (1/0.95) = 500 * (1/0.95) - 500
Ymmärrän siis kuinka tapa 1 toimii. Eli koska 500 g vettä on 95 % tuosta sokeriliuoksesta, jossa 5 % on sokeria, niin tällöin sokeriliuoksen grammamäärä selviää selvittämällä mikä on 100 % jos 500 g on vain 95 %. Joka selviää siis laskemalla 500 * (1/0.95), ja toisin sanottuna siis 500 / 0.95
Tulokseksi tulee tuon sokeriliuoksen grammamäärä, josta sitten vähennetään veden osuus (eli 500 g), jolloin jäljelle jää vain tuon sokerin grammamäärä.
Tämän siis ymmärrän, mutta en vain millään ymmärrä, että miten sama voidaan laskea ottamalla 500 g:sta 5 %:tia ja käsittelemällä sitä niin kuin se olisi 95 % tuosta halutusta sokerimäärästä (X). Eli, jakamalla tuo 500 g * 0.05 = 25 luvulla 0.95
Kysymykseni siis onkin, että millä ihmeen logiikalla tuo 25 g on 95 % tuosta kysytystä sokerimäärästä, jonka lisäämisen jälkeen liuoksessa olisi 5 % sokeria ja 500 g vettä.
Ymmärrän kyllä että näin se on, ihan lausekkeen käsittelyn osoittamana. Eli:
(500g X) * 0.05 = X
Näin siis koska X halutaan (joka on siis tuo haluttu sokerimäärä), mutta se pitää ensin lisätä 500 g, jotta se voidaan määrittää ottamalla X:n ja 500 g:n summasta 5 % (eli kertomalla se kertoimella 0.05). Ja täten siis homma jatkuu että:
(500g X) * 0.05 = X || Osittelulaki
500 * 0.05 X * 0.05 = X || lasketaan 500 * 0.05
25 X * 0.05 = X || : X
25/X 0.05 = X/X || lasketaan X/X
25/X 0.05 = 1 || - 0.05
25/X = 1 - 0.05 || : 25
1/X = (1 - 0.05)/25 || Käänteisluvut
X = 25/(1 - 0.05) || lasketaan 1 - 0.05
X = 25/0.95
Metkintä 25/0.95 tarkoittaa että X on 100 %, kun 25 on 95 %, jolloin siis kyseinen 100 % selviää laskemalla 25/0.095, mutta kysynkin, että millä maalaisjärjen päättelyllä tuo 25 on 95 % tuosta halutusta luvusta X?
Vastaukset 15
Vanhimmat
Matematiikka+on+tiivistettyä+maalaisjärkeä.
Hei,+ja+kiitos+vastauksesta.+
HAHAA!!!+MINÄ+KEKSIN+SEN!+:D+:D+:D+:D
Kaupan alalla on laskettu arvonlisäveroton hinta tuotteelle. Esim. kassakuiteissa ja sähkölaskuissa saattaa olla maininta, että arvonlisäveroton hinta olisi ollut tällainen, tai veron osuus olisi tuollainen. Asian laskemiseksi on sitten keksitty tiesmitälie mutkikkaita kaavoja.
Itse ratkaisin asiaa joskus helpommaksi näin. Jos arvonlisäveroprosentti on esim. 24, niin veroton hinta voidaan laskea: verollinen hinta per 1,24. Että näin yksinkertainen menetelmä, kun oli ajateltu tarpeeksi helpoksi asti minun makuuni.
Mitenkö vastaavaa laskentatapaa voisi soveltaa tämän keskustelun aloitusviestin kysymykseen? Niinkö, että koko lasti per 1,05 pitäisi olla 500 ? Ja siitä voi päätellä sokerimäärän ottamalla 5 prosenttia ?
Eli tästä laskemalla 500 x 1,05 olisi 525, ja siitä 5 prosenttia on 26,25. Menikö oikein? Kuka esitti helpomman tai paremman laskentatavan?
Voitte nimittäin tarkastaa tuloksen helposti: 26,25 per 525 on tasan 0,05. Eikö totta?
Ei saa esittää lapsukaisille hämääviä kompakysymyksiä, setä. Niinkö ajattelitte? Ettei 500 plus 26,25 ole 525, eli pieleen meni. Mutta arvonlisäveron laskentamalli oli toimiva, eikö niin?
Joo,+alv.+laskeminen+oli+ihan+ok,+mutta+tässä+on+haasteena+se,+että+tuo+5+%+pitäisi+olla+5+%+siitä+summasta+joka+tulee+kun+tuohon+500+g+lisätään+tuo+tuntematon+summa.+
Huomautus.
En tiedä, vastaako tämäkään viesti keskustelun kysymyksiin, mutta lisää ajattelemisen aiheita:
Minua kiinnostaa tässä laskentatehtäväesimerkissä eräs kerroin. Kun nimittäin ajattelin, mikä yhtälö tai kaava muodostuisi, niin ajattelin sokerimäärä = 500 x (0,05 /0,95). Katselin tuota keskusteluun aiemmin kirjoitettua tarkemmin. Huomasin, että näköjään minun tapani ajatella/ratkaista asia olisi ollut tuo aloitusviestissä mainittu tapa nro 2.
Mikä sitten vaikutti, että näin ajattelin? Sehän tapa aiheutti, että myöhemmin ajatuksissani ihmettelin, mitä asiaa tuo suhdeluku 0,05/0,95 muistuttaa. Että onko fysiikan tai matematiikan alalla jokin asia, jota ilmaistaan tuolla tavalla? Hyötysuhde? Ei. Jotain muuta?
Mikäkö tuossa suhdeluvussa on erikoista? Mielestäni se, että molemmat 0,05 ja 0,95 ovat suhdelukuja. Esim. jos katsottaisiin tai kuunneltaisiin audio/videotiedostoa, ja jos aikamäärien asemesta näkyisikin suhdeluku: näin paljon kuunneltu tiedoston koko pituudesta (esim. 0,05), ja näin paljon kuuntelematta vielä (0,95). Nämä kaksi lukua ovat kuin sama asia eri näkökulmista. Tiedoston kuuntelun edetessä luvut muuttuisivat esim. 0,1/0,9 ja sitten 0,2/0,8 ja sitten 0,3/0,7 jne.
Harmonisesta keskiarvosta
Alun perin keskustelua lukiessani muistui mieleen harmoninen keskiarvo. Olen jonkin verran unohtanut, mihin sitä käytetään, tai mitä se tarkoittaa. Olivatko keskiarvot tällaisia: geometrinen keskiarvo on logaritmien aritmeettisen keskiarvon antilogaritmi, ja harmoninen keskiarvo on käänteislukujen aritmeettisen keskiarvon käänteisluku? Muistinko oikein myös, että harmonista keskiarvoa käytetään, jos on jokin vakio tai summa (esim. automatka), josta suhdeluvuilla pilkotaan osia (esim. autolla ajo jonkin matkaa jollain nopeudella, toinen osa matkasta toisella nopeudella), joista suhdeluvuista halutaan keskiarvoa?
Liittyykö siis harmonisen keskiarvon käyttö millään tavalla keskustelun aiheeseen? Suhdelukujen suhde, 0,05/0,95 ? Mikä tämä on? Mitä se merkitsee? Onko fysiikan, liike-elämän tai matematiikan kaavoissa mitään, joka muistuttaisi tätä?
Ilmeisesti harmoninen keskiarvo tarkoittaa laskemistapaa, jossa esim keskinopeus lasketaan ajan eikä matkan perusteella.
Eli, jos on ajettu matka x nopeudella 100 km/h, jonka jälkeen on ajettu toinen saman pituinen matka x nopeudella 50 km/h, niin harmonisen keskiarvon mukaan keskinopeus olisi (100 50 50)/3=66 km/h, kun taan aritmeettinen keskiarvo olisi (50 100)/2=75 km/h.
Eli harmonisessa keskiarvossa otettiin huomioon se, että kun ajettiin matka x nopeudella 50 km/h, niin tähän matkaan x meni kaksi kertaa niin kauan kuin mitä siihen meni kun matka x ajettiin nopeudella 100 km/h.
Näin siis wikipedia asiasta selvittää, mutta en kyllä keksi miten tämä liittyisi tähän suola ongelmaan.
Kiitoksia vaan selityksistä. Tässä lisää esimerkkiä, miten aritmeettisen keskiarvon asemesta harmoninen antaisi oikean tuloksen joihinkin tilanteisiin: http://www.helsinki.fi/~tarkkone/johd/gh.pdf
Eli jos ajetaan 240 km matka kahtena 120 km osuutena, ruuhka-aikana nopeudella 60 km/h ja yöllä 120 km/h, niin yhteenlaskettu ajoaika olisi 3 tuntia ja siitä keskinopeudeksi saataisiin 240/3 eli 80. Harmoninen keskiarvo antaisi tuloksen suoraan nopeuksista, ilman että tarvitsee tietää, miten paljon aikaa meni kullakin matkan osuudella.
Harmoninen keskiarvo muistui mieleen, koska keskustelussa esiintyi pitoisuuksien suhde, 5 per 95, ja kun siitä summaksi tulisi 100 prosenttia. Voidaanko siis jonkin aineryhmän pitoisuuksien keskiarvo laskea harmonisella keskiarvolla - esim. tapauksessa, että osa tuosta sokerimäärästä olisi fruktoosia, jotkut osat muita sokereita? Sittenkö sokerilajien pitoisuuksien keskiarvo (per koko nestemäärä) pitäisi laskea harmonisella, ei aritmeettisella keskiarvolla, jos keskiarvo haluttaisiin? Tämä menee tietysti hieman sivuraiteelle, tai yli alkuperäisestä keskustelun tavoitteesta, mutta aiheeseen liittyvää. Tuli tähänkin keskusteluun minulta tällaisia spekulaatioita, joita en ollut ajatellut valmiiksi ennen kirjoittamista.
Tämä keskustelu on oikein malliesimerkki, miten desimaalilukujen käyttö voi joskus hämätä, ja murtoluvuilla ajatteleminen on paljon selkeämpää. Nimittäin tuo keskustelun avausviestin kysymys, että halutaan tietää lisättävä sokerimäärä, liuotettavaksi 500 grammaan vettä, 5-prosenttisen sokerilitkun aikaansaamiseksi - voidaan lukea tavalla, joka tuntuu siltä, ettei laskettavaa jää juuri mitään, vaan järkeilyä/maalaisjärkeilyä:
5 prosenttia on 1/20. Joten halutaan seos, jossa on 20 osaa jotakin. Yksi osa niistä 20:sta osasta on sokeria, loput 19 osaa ovat vettä. Veden määrä on 500 grammaa. Joten yhden osan suuruus on 500/19. Ja se on täsmälleen lisättävä sokerimäärä, ei pyöristettynä, vaan tarkkana murtolukuna. Ainoa, mitä tarvitsi osata tuossa laskea, oli desimaaliluvun tai prosentin muunnos murtoluvuksi, ja vähennyslasku 20-1=19, ja siitä voitiin järkeillä tulos 500/19. Helppoa?
Fysiikan alalla lienee käytössä termi laimennussuhde? Katselin sanakirjoista, mitä on "dilution" suomeksi: tarkoittaa laimentamista, ohentamista, jatkamista. Muistui mieleen, että kaupoissa myytävissä mehutiivistepulloissa on laimennussuhde ilmoitettu esim. 1 osa tiivistettä, 4 osaa vettä. Tämä ei tarkoita, että litran tiivistepullosta tulee 4 litraa valmista juomaa. Ei vaan 1 4=5.
Jos kysymyksen asettelu olisi ollut, että halutaan 2 litraa laimennettua mehua, tiivisteestä, jonka laimennussuhde on 1:4, niin olisi voitu ajatella: tarvitaan tiivistettä 2 litraa per 5. Eli tiivistettä 0,4 litraa = 4 desiä, ja loput 1,6 litraa olisi vettä.
Eli keskustelu mielestäni osoittaa murtoluvuilla ajattelemisen kätevyyttä. Toinen tapa ajatella keskustelun alkuperäistä kysymystä olisi ollut ehkä minun tapaani muistuttava:
sokerimäärä per nestemäärä = laimennussuhde = 5 per 95, eli 1/19. Joten sokerimäärä = 500 /19.
Tämä keskustelu on malliesimerkki ainakin siitä, miten täysin yksinkertaista tehtävää voidaan loputtomasti repostella palstan diletanttien toimesta.
Solunetti-sivulla selitettiin seossuhde eri asiaksi kuin laimennossuhde:
"Laimennossuhde
Laimennettaessa liuoksia tietyssä suhteessa (esim. laimennossarja), liuosten konsentraatio ilmoitetaan laimennossuhteena. On tärkeää huomata, että laimennossuhde on eri asia kuin seossuhde. Syynä on seoksen ja liuoksen määritelmät. Esimerkiksi laimennossuhde 1:10 tarkoittaa liuosta, jossa vaikuttavaa ainetta on 1osa ja liuotinta on 9 osaa. Tällöin laimennetun liuoksen pitoisuus on kymmenes osa alkuperäisestä (väkevämmästä) kantaliuoksesta.
Eli:
seossuhde 1:10 = 1 osa 10 osaa
laimennossuhde 1:10 = 1 osa 9 osaa"
http://www.solunetti.fi/fi/solubiologia/laimennossuhde/
Kuitenkin aiheesta on erilaisia käsityksiä ja selityksiä eri kielillä. Joidenkin mielestä laimennussuhde tarkoittaa suunnilleen samaa asiaa kuin pitoisuus. Toisten mielestä pitoisuuksien suhdetta. Esim. tämän keskustelun tapauksessa, jos laimennussuhde on pitoisuuksien suhde, sitten minun mielestäni laimennussuhde oli 5/95 eli 1:19.
Eli monenlaista käsitystä termistä on. Tässä muita englanniksi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dilution_ratio
http://www.quansysbio.com/dilutions/
https://duckduckgo.com/?q=dilution ratio&t=h_&ia=web
Kun vielä ymmärrätte, että kaikki liotus-, laimennus-, pitoisuus- ja paksunnossuhteet ja prosentit ovat silkkaa hölynpölyä, niin saatatte jopa tajuta asiasta jotain.
Riittää, kun ymmärtää, mitä tarkoittaa ynnä- ja kertolasku ja massa.
40 Laborantti sekoittaa 500 g vettä ja 23 g sokeria. Laske liuoksen sokeripitoisuus prosentteina.