Miten lähden ratkaisemaan tätä?
Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta
2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä
2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2018 alussa ja
629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.
a) Ennusteen mukaan asukasluku y toteuttaa yhtälön y=a(x-2014) b, kun x on vuosiluku. Määritä vakioden a ja b tarkat arvot käyttämällä annettuja tietoja.
b)Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014-2030?
Helsingin kaupunki teetti ennusteen kaupungin väestönkasvusta vuodesta
2012 alkaen. Ennusteen mukaan asukasluku kasvaa lineaarisesti aikavälillä
2012−2030 niin, että kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2018 alussa ja
629 894 asukasta vuoden 2018 alussa. Ennusteessa ei otettu huomioon mahdollisia kuntaliitoksia.
a) Ennusteen mukaan asukasluku y toteuttaa yhtälön y=a(x-2014) b, kun x on vuosiluku. Määritä vakioden a ja b tarkat arvot käyttämällä annettuja tietoja.
b)Kuinka paljon asukasluku kasvaa ennusteen mukaan aikavälillä 2014-2030?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Tehtävässä on painovirhe. Koska aikaväli on 2012 - 2030, niin ilmeisesti (???)
pitäisi olla, että "kaupungissa on 607 417 asukasta vuoden 2012 alussa".
On määrättävä a ja b yhtälöstä (sikäli kuin arvasin painovirheen oikein)
y = a(x - 2014) b, kun tunnetaan
x = 2012, y = 607 417
ja
x = 2018, y = 629 894.
Sijoitetaan x = 2012, y = 607 417, jolloin saadaan yhtälö
607 417 = a(2012 - 2014) b.
Samalla tavalla saadaan yhtälö arvoista x = 2018, y = 629 894:
629 894 = a(2018 - 2014) b.
Nyt meillä on kaksi yhtöä ja kaksi tuntematonta a ja b. Vähennetään yhtälöt puolittain, jolloin b häipyy ja saadaan yhtälö a:lle. Kun a-arvo on saatu, voidaan b määrätä jommasta kummasta yhtälöstä.
b) kun a ja b on selvillä sijoitetaan lausekkeeseen a(x - 2014) b x = 2014 ja x = 2030, jolloin saadaan asukasluvut näinä vuosina.
Toisenlainen näkökulma olisi lähteä arvioimaan derivaattaa tai a:ta eli kasvuvauhtia, asukaslukujen erotuksen, per vuosilukujen erotuksen kautta. Siis jotain sen näköistä, että a = (629 894 - 607 417) / (2018-2012)
a = 22477 / 6
a= 3746,1666666666666666666666666667
Mutta sitä en osaa sanoa, miksi itselläni ajattelutapa olisi tuollainen - että mentiinkö siinä arvion olennaiseen ytimeen suoraan. Asukaslisäys per vuosi. Jonkinlaista vauhtiajattelua? Tällä tavalla ei tarvitse ihmetellä, oliko kysymyksen vuosiluku 2014 myös painovirhettä. Eiköhän a:lla tarkoitettu kasvuvauhtia, ja sen kautta voitaisiin laskea periaatteessa minkä hyvänsä vuoden tilanne helposti?
Tehtävän oikeat lähtöluvut ovat:
607 417 asukasta vuoden 2014 alussa ja
629 894 asukasta vuoden 2018 alussa, joten tarkkuutta kopsatessa, hei! (tarkistettu alkup.tehtävästä)
a)
Vakio a on ns.suoran kulmakerroin eli suoran määritelmästä silloin
a = (629 894 - 607 417) / 2018-2014 = 22477/4
= yhtä kuin kasvu vuodessa tämän tehtävän termein
Kun suoran yhtälö y=a(x-2014) b on valmiiksi annettuna, niin sijoittamalla vuoden 2014 havainto yhtälöön, saadaan
607417 = (2014-2014)a b, josta b= 607417
(ilman sen kummempia laskuja siis!)
b) kasvu aikana 2030-2014 eli 16:ssa vuodessa on siis (22477/4)*16 = 89908 asukasta.
ps. se, että kun yhtälössä on tuo "siirtotekijä" 2014 x-akselia pitkin, aiheuttaako se pienen lisäperustelutarpeen sille, että voidaan sanoa suoraan, että a on suoran kulmakerroin, arvioikaa matemaatikot sitä ;)
Voihan asiaa ajatella näinkin, että tietyssä x:n kohdassa jos derivaatta tai kulmakerroin on tietynlainen, ja tehtävässä annettiin ymmärtää, että lineaarinen, suoraviivainen suora, niin eihän se 2014 tai mikä hyvänsä luku sulkeissa a:n perässä - ei voi vaikuttaa, että a:n arvo jotenkin muuttuisi, tai kääntyisi. Elikkä jos asukasluvun muutos per vuosiluvun muutos lasketaan vuosiluvulla 2014, kulma on sama kuin jos laskettaisiin arvolla x=0 tai mitä hyvänsä. Ehkä joku muu haluaa perustella tätä ytimekkäästi kaavojen kautta? Tai minä? Ehkä jotenkin siihen tyyliin, että y=ax - 2014 a b tarkoittaisi kaavaa, jossa derivointisäännöillä 2014a b tipahtaa pois, tulematta derivaatan arvoon mitenkään mukaan, kun ei se ole x:n kertoimena, eikä x:n potenssina?
Tuossa jäljempänä rivien välissä on näköjään tullut todennetuksi, lähtien kahden pisteen määräämästä suoran kaavasta, että tehtävän vakio a on kulmakerroin.
Muuten: sellainen sattuma, kun kokeilin, milloin väkiluku mallin mukaan olisi ollut nolla (vuosi 1906), niin todellinen Helsingin asukasluku on silloin ollut melkoisella tarkkuudella 100 000.
Kirjoitetaan nyt vielä tuolle "sedälle" ihan näkyville:
Meillä on suora y = y(x) joka kulkee kahden pisteen kautta, nämä riittävät määräämään suoran. Olkoot nuo pisteet (x1,y(x1)) ja (x2, y(x2))
Suoran kulmakerroin on k1 = (y(x2) - y(x1)) / (x2 - x1) .
Mutta jos otetaan yleinen piste (x,y(x)) joka sijaitsee tuolla suoralla on kulmakerroin myös k2 = (y(x) - y(x1)) / (x - x1).
Piirrä setä kuva niin näet asian olevan näin.
Mutta suoran kulmakerroin on vakio joten k1 = k2 ja asettamalla näiden tilalle nuo antamani lausekkeet saadaan
y(x) - y(x1) = (y(x2) - y(x1)) / (x2 - x1) * (x - x1) suoran yhtälöksi. On sama kumpi pisteistä valitaan 1-pisteeksi ja kumpi 2-pisteeksi.
Ohman
Ja varmuuden vuoksi vielä: (k1 = k2 = k)
y(x) = k(x - x1) y(x1) joten tehtävän a = k ja b = y(x1).
x1 = 2014, y(2014) = 607417, x2 = 2018 , y(2018) = 629894
Ohman
y(t) - 607417 = (629894 - 607417) / (2018 - 2014) * (t - 2014) on tarvittavan suoran yhtälö eli
y(t) - 607417 = 5619,25 * (t - 2014)
ja siis y(2030) = 607417 16*5619,25 = 697325.
Ohman
Todellinen väkiluvun kasvu lienee monesti ollut logaritminen? Tai jostain lähtötilanteesta kasvava erittäin pienellä potenssiluvulla? Mutta ehkäisvälineiden tulo markkinoille, sodat ja muut historian mullistukset ovat hidastaneet kasvua?
Entäs nyt kun muslimitaustaisia on tullut Suomeen? Väkiluku kasvaa eksponentiaalisesti, kullekin kymmenen lasta? Neljä vaimoa kullekin miehelle? Miten nopeasti kristinusko muuttuu vähemmistöksi?