Osaako kukaan antaa mitään vinkkiä, miten lähteä ratkaisemaan tätä?
"Kolmiossa on yksi sivuista 10 ja toinen 20 sekä kolmion ala 60. Määritä kolmas sivu."
Jollain tavalla pitäisi hyödyntää trigonometrian peruskaavaa/vasta-, suplementti- tai komplementtikulmien tai kaksinkertaisten kulmien siniä ja kosinia.
"Kolmiossa on yksi sivuista 10 ja toinen 20 sekä kolmion ala 60. Määritä kolmas sivu."
Jollain tavalla pitäisi hyödyntää trigonometrian peruskaavaa/vasta-, suplementti- tai komplementtikulmien tai kaksinkertaisten kulmien siniä ja kosinia.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Jos kolmion kanta 20 ja ala 60, niin tuosta lohkeaa kolmion korkeus. Sitten vain siniä peliin, niin saadaan kärkipisteiden koordinaatit.
.
A= 60 = 1/2* 10* 20 * sin(u) eli sin(u) = 0,6 josta u = 36,87 astetta. u on noiden sivujen välinen kulma joiden pituudet ovat 10 ja 20.
Kolmas sivu X olkoon pituudeltaan x. Piirrä kolmio niin, että 20-pituinen sivu on i-akselilla ja lähtee origosta. Sitä kuvaava vektori on 20 i. 10-pituista sivua kuvaa vektori
10 cos(u) i 10 sin(u) j.
x = lXl =l 10 cos(u) i 10 sin(u) j - 20 i l = l (10 cos(u) - 20) i 10 sin(u) j l =
sqrt(100 cos^2(u) 400 - 400 cos(u) 100 sin^2(u)) = sqrt(100 400(1-cos(u))) = sqrt(180) = 13,4.
x-sivun ( x = 13,4) ja 20-sivun välinen kulma on v = arcsin(6/13,4) = 26,6 astetta. Kolmas kulma on 116,53 astetta . Kulmien summa on 180 astetta.
Ohman
Tai sitten sin u=3/5 ja sivun pituus on kosinilauseen mukaan sqrt(10^2 20^2-2*10*20*cos(arcsin(3/5)))=6*sqrt(5) jos tarkkaa arvoa kysytään.
P.s. Ilman vektoreita:20-sivulle päättyvän korkeusjanan pituuso on 6 (60 = 1/2 * 20 *h mistä h = 6). Tämä jakaa tuon sivun kahteen osaan, toisen pituus on sqrt(100 - 36) = 8 ja toisen pituus siis 12. Kolmannen sivun pituus on sqrt(6^2 12^2) = sqrt(180) = 13,4.
Ohman
Miten mä sain eri tuloksen kuin Ohman kun käytin Heronin kaavaa?
Jos kolmion sivujen pituudet ovat 10, 20 ja 2a, on piirin puolikas p=15 a. Heronin kaavan mukaan alan neliölle on voimassa p(p-2a)(p-10)(p-20)=60^2 eli
(15 a)(15-a)(5 a)(a-5)=60^2. Tästä saadaan a=3sqrt(5) tai a=sqrt(205) ja joitain negatiivisia lukuja. Mutta 3sqrt(5) ei tule kysymykseen kolmioepäyhtälön takia. Siis a=sqrt(205). Sivun pituus on siis 2sqrt(205) eli noin 28,6.
2a = 6 sqrt(5) = 13,4 (= sqrt(180)).
Ohman
sqrt(10^2 - 6^2) = 8. sqrt(6^2 28^2) = 28,6. Tämä on se toinen ratkaisu.
Ohman
Tuohon tehtävään on kaksi ratkaisua.
Aseta kantasivu 20 alkamaan origosta itään.
Aseta sivu 10 alkamaan origosta. Sen voi suunnata suunnilleen koilliseen tai luoteeseen. Molemmista suunnista löytyy kolmiolle korkeudeksi 6 tai jotain mitä sen nyt sitten pitäisikään olla.
Helpoin ratkaisu (ilman vektoreita) on se, että tunnetusta alasta ratkaistaan ensin kulma alfa = arcsin(2A/(10*20) = 36,9 tai 143,1 astetta.
Sitten kosinilauseella puuttuva alfan vastainen sivu sivu a = sqrt(10^2 20^2 - 2*10*20 cos(alfa) = 13,4 tai 28,6
nooh pari sulkua puuttui...
No eiköhän se helpoin kuitenkin löydy kommenteistani klo 8.32 ja 14.32. Ei tarvittu arcsin-funktiota jne.
Ohman