Juomalasi on ihan tavallisen sylinterin muotoinen, korkeus h ja suun säde r (= myös pohjan säde). Lasin pohjalla on vettä korkeudelle s (s < h). Kuinka monta astetta lasia voi kallistaa ennen kuin vesi valuu pois?
Eikä sitten saivarrella lasin pohjan ja seinämien paksuudella tai veden pintajännityksellä tai ...
Eikä sitten saivarrella lasin pohjan ja seinämien paksuudella tai veden pintajännityksellä tai ...
Vastaukset 13
Vanhimmat
kun on vedestä kyse, mutta jos se olisi konjakkia niin suun kohdalla kulma olisi 120 astetta.
Tarkoitit varmaan, että s < h/2 , ja pahoin pelkään että tarkkaa arvoa saa odotella.
Likiarvokaavoja käyttämällä ehkä vois saada jotain aikaan.
No en oikeestaan tarkoittanut rajata sitä mitenkään, mutta vaikeusaste taitaa vaihdella sen mukaan, kuinka paljon vettä on.
Miksi tää on niin vaikee?
Jos nestepinta on yli puolenvälin s>h/2, niin se on pelkkä päässälasku eli arctan((h-s)/r), jos alle niin lasi jää pohjasta vajaaksi ja tilavuus joka muotoutuu ympyräsegmentin muotoiseksi poikkileikkaukseltaan pitäisi laskea.
Se saadaan kyllä segmentin korkeuden (x) funktiona, ja kulma on arctan(xmax/h) mutta kun yhtälö on muotoa f(x) arcsin(g(x)), niin x.n ratkaiseminen on se joka tekee asian pulmalliseksi.
Voihan tähän löytyä helppo ratkaisukin, joten odotellaan, ja muuten tehtävänannossa ei ollut mitään epäselvää.
Lasia tulee kallistaa vähintään yhdeksänkymmentä astetta, että vesi valuu siitä pois.
Toinen kysymys on tietenkin tilanne, jossa lasi kallistetaan sellaiseen kulmaan, että vettä ryhtyy valumaan siitä pois...
Sanoinhan ettei ruveta saivartelemaan... No olihan se vähän epätarkasti muotoiltu. Tarkoitin siis että "Kuinka monta astetta lasia saa korkeintaan kallistaa valuttamatta yhtään vettä lasista?"
Vaikka edellinen olikin saivartelua siitä saadaa jotakin informaatiota tehtävän ratkaisuksi eli rajat. Jos lasi on ihan täynnä (s=h) niin kulma on 0 astetta. Toisaalta myös jos lasi on tyhjä (s=0) niin kulma on 90 astetta (jos ihan tarkkoja ollaan niin voisi puhua että kulma lähenee 90 astetta kun veden korkeus astiassa lähenee 0:laa. (raja-arvo) Tehtäväähän ei ole määritelty lasin ollessa tyhjä koska silloinhan itseasiassa tarkasti ottaen lasia voidaan kallistaa kuinka paljon tahansa ilman että vettä valuu pois. Kuitenkin idea on tässä on kertoa se että oli lasissa vettä kuinka vähän tahansa niin se valuu pois viimeistän kulman ollessa 90 astetta. No eiköhän kaikki tajua mitä tällä tarkoitan.)
Sitten tulee heitto jonka joku voi ampua alas mieluiten perusteiden kanssa (miksi ei näin kun selitän) Tämä kun tulee ihan omasta intuitiosta. Jos lasi on puolillaan vettä (s=h/2) niin olisiko kulma tällöin 90/2 eli 45 astetta. Jos näin on niin tästä voidaan laskea tuo kallistamiskulma millä tahansa s:n arvolla kun s ilmoitetaan suhteena koko lasin korkeuteen h.
Matematiikassa ja monessa sen sovellutuksessa on tärkeää, että ratkaistaan juuri oikea ongelma. Useimmissa käytännön sovellutuksissa juuri sen oikean ongelman määrittäminen on kaiken a ja o.
Sen takia matematiikan tehtävän tarkka formulointi on tärkeää myös ajanvieteongelmissa, oppilaitoksista ja niiden kokeista nyt puhumattakaan.
Käsitinkö oikein, että jos vettä on esim. s=h/4:n verran, niin haettu kulma olisi 45:n ja 90:n puolivälissä eli 67.5 astetta? KUULOSTAA järkevältä, mutta tarvittaisiin varmaan vielä todistus, että haettu kulma todella käyttäytyy lineaarisesti 45:n ja 90:n välillä, kun s liikkuu välillä h/2 ... 0?
Lasin ollessa suorassa vesi täyttää sylinterin, jonka korkeus on tuo s. Veden pinnasta lasin yläreunaan on tällöin matkaa siis h-s.
Tutkitaan aluksi mitä tapahtuu, kun veden pinta on ylempänä kuin lasin puoliväli:
Kun lasia kallistaa niin paljon, että veden reuna tulee juuri ja juuri lasin reunalle asti, niin veden täyttämän tilavuuden muoto on sellainen, että alaosassa lasia vesi täyttää koko lasin ja yläosassa veden reuna muodostaa tason, joka kulkee lasin yläreunalta johonkin kohtaa lasin sisäreunaa.
Tämä lasin sisäreunan kohta löytyy esimerkiksi niin, että ajatellaan että jos vain osittain vedellä täyttyneen osan leikkaa lasin pystysuunnassa täsmälleen kahtia ja kääntää yläosan alaosan päälle, saadaan täsmälleen alkuperäistä, kallistamatonta tilannetta vastaava veden muoto. Leikkaaminen tapahtui samalta kohdalta, missä veden pinta on suorassa lasin asennossa, mikä oli kallistetussa tilanteessa osittain täytetyn tilavuuden puoliväli. Siis kohta, jossa veden pinta tapaa lasin sisäreunan lasia kallistettaessa on lasin yläreunasta mitattaessa täsmälleen 2*(h-s).
Nyt meillä on mukava trigonometrinen ongelma, jossa meillä on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat r ja 2*(h-s) ja täytyy ratkaista kolmion yksi kulma.
Jos vettä oli alunperin vähemmän kuin puolet, sama tarkastelu ei ihan sellaisenaan kelpaa, sillä symmetria ei kallistetussa tilanteessa enää toteudu samalla tavoin. Siinä on kuitenkin paljon yhteistä ja ehdotankin, että mietiskelet sitä ennenkuin kerron esimerkin, miten ratkaisu löytyy.
Pieni korjaus tuohon loppuun, eli suorakulmaisessa komiossa kateetit ovat 2*r ja 2*(h-s)
En taaskaan ehdi asiaa tarkemmin miettiä, kun on työasioitakin mietittäväksi, mutta eiköhän se menne jotenkin näin:
Jos s >= h/2, niin alfa = arctan((h-s)/r).
Jos s < h/2, niin sitten seuraavaa lähdettä käytetään hyväksi johdettaessa yhtälöä alfan ja s:n välille
http://mathworld.wolfram.com/CylindricalWedge.html
Palaan tähänkin joskus myöhemmin, kun työt eivät ahdistele.
tuota voi ratkaista. Jos nestettä on differentiaalisen verran vähemmän kuin lasin korkeus on, niin sitä voi kallistaa ainoastaan differentiaalisen verran. Mikäli nestettä on taas puolestaan differentiaalisen vähän, niin lasia voidaan kallistaa kunnes kallistuskulma lähenee 90 astetta. Ilmeisesti hait kuitenkin tähän jotakin kaavaa.