Laske käyrän y = 1/x & x -akselin välisen alueen pinta-ala välillä 1 (on pienepi tai yhtäsuuri) x (on pienempi tai yhtäsuuri) 5?
Käyrä y = 1/x pyörähtää x -akselin ympäri välillä x 1 (on pienempi tai yhtäsuuri) x (pienempi tai yhtäsuuri) 5. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus?
Käyrä y = 1/x pyörähtää x -akselin ympäri välillä x 1 (on pienempi tai yhtäsuuri) x (pienempi tai yhtäsuuri) 5. Laske syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus?
Vastaukset 1
Vanhimmat
1. Kysytty pinta-ala = Int(1 <= x <= 5) (1/x) dx = Sij(1,5) ln(x) = ln(5) - ln(1) = ln(5).
2.1. Kysytty tilavuus = pi*Int(1,5) (1/x^2) dx = pi*Sij(1,5) (- 1/x) = pi*(1 - 1/5) = 4/5 pi.
2.2. Kysytty tilavuus = Int(0, 2 pi) du Int(1,5) dx Int(0,1/x) r dr = 2 pi Int(1,5)( Sij(0, 1/x) r^2/2) dx = 2 pi Int( 1,5)(1/(2 x^2)) dx = pi Sij (1,5) (- 1/x) = pi (1 - 1/5) = 4/5 pi.
2.1 on se tavallinen laskutapa jota käytetään kun käyrä pyörähtää jonkun akselin ympäri.
2.2 on ihan normaali tilavuusintegraali sylinterikoordinaatistossa r,u,x :
x = x, , y = r cos(u), z = r sin(u)
Jacobin determinantti J = r joten Int(V) )dx dy dz = Int (V) r dr du dx.
Ohman