Sain laskimella D(x^x) = (1 lnx)e^(xlnx), miten ihmeessä tämä tulee?
Derivaatta eksponenttifunktiolle
Pääsykokesii
8155
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tämähän on aika mekaaninen välivaiheiltaan, kun kerran oppii: http://aijaa.com/B1zegN
Tuo Derivoijan ratkaisu perustuu implisiittiseen derivointiin, jota ei kai välttämättä opeteta lukion kurssissa. Tehtävän voi ratkaista myös suoralla derivoinnilla perustuen identiteettiin:
a = e^(lna)
Siten saadaan:
y = x^x = e^(ln(x^x) = e^(x*lnx)
Tuon kun derivoi yhdistettynä funktiona, saadaan laskimen anta, joka voidaan sieventää myös muotoon:
y' = (1 lnx)*x^x
y = x^x
ln (y) = x ln(x)
derivoidaan molemmat puolet x suhteen
(1/y) dy/dx = ln(x) x (1/x) = ln(x) 1
dy/dx = y(ln(x) 1) = x^x (ln(x) 1)
Mielestäni keskustelun avauksen viestin yhtälö muistuttaa jotain derivoinnin tai integroinnin kaavoja. Logaritmi on nimenomaan hyperbelin integraali. Matematiikan historian alalla kerrotaan tarinaa, että Napier laittoi puutarhurinsa viljelemään erimuotoisia kukkapenkkejä. Puutarhuri sitten joutui laskemaan suorakulmaisen alan pintaa, kolmion pintaa, ja lopulta hyperbelin rajoittamaa pinta-alaa. Saadakseen hankittua sopivan määrän siemeniä kullekin alalle. En nyt muista, menikö tarina täsmälleen tällä tavalla. Mutta jostain matematiikkaa popularisoivissa kirjoissa tätä kertomusta voi löytyä.
Joskus muinoin kun leikin ohjelmoitavilla laskimilla, testasin laskimen tarkkuutta. Laitoin laskimen selvittämään, mitä tulee hyperbelin integraalin arvoksi kohdasta x=1 eteenpäin. Siis pinta-ala alueella, joka jäi hyperbelin ja x-akselin väliin. Sitten vertasin siihen, mitä laskin antoi vastaavasti logaritmin arvoksi. Arvaatteko, oliko logaritmin arvo tarkempi?
Kyseisen hyperbelin kaava oli y=1/x. Luonnollinen logaritmi on kyseisen hyperbelin integraali kohdasta x=1 eteenpäin oikealle, eli logaritmin arvo on samaa kuin pinta-ala hyperbelin ja x-akselin välillä.
Sedän tarkoittama kirja lienee tällainen kirjastoluokitusten mukaan:
Kauneimmat matemaattiset kaavat
Tekijä: Salem, Lionel
Lisätekijä: Testard, Frédéric
Lisätekijä: Salem, Coralie
Lisätekijä: Pietiläinen, Kimmo
Julkaisuvuosi: 1993
Kieli: suomi
Aineistolaji: Kirja
Luokka: 51
Kategoria: Tietokirjallisuus
Kustantaja: [Helsinki] : Art House, 1993 (Jyväskylä : Gummerus)
ISBN: 951-884-111-X nidottu
Lisäpainokset: 2. p. 1998. - 3. p. 2000. - 4. p. 2010
Yhtenäistetty nimeke: Les plus belles formules mathématiques
Lisätietoja: 160 sivua : kuvitettu ; 21 cm ; nide ; teksti : käytettävissä ilman laitetta
Löytyi englanninkielisenä versiona tuo kirja Internetistä. Tarina Napierin puutarhurista sivun 26 tienoilla PDF-versiossa.
https://archive.org/details/TheMostBeautifulMathematicalFormulas
Tuo "The Most beautiful..." löytyy Amazon.co.uk-sivustolta. Siellä on kuvaus kirjasta ja Look inside-toiminnolla voi nähdä sisällysluettelon ja vähän enemmänkin.
Ohman