Pythagoras tilastotieteessä

E^2 (X) E( X - E(X))^2 = E^2 (X) E(X^2) - E^2(X) = E(X^2) = muuttujan X toinen momentti origon suhteen.

Ohman

Sama kysymys uudelleen hieman eri tavalla sanottuna:

Jos olisi suorakulmaisessa kolmiossa yhden sivun pituus sama kuin aritmeettinen keskiarvo, ja jos toisen sivun pituus olisi hajonta, niin mikä tilastotieteen tunnusluku olisi sitten hypotenuusa?

Olisiko neliöllinen keskiarvo, eli englanniksi RMS, root mean squared?

Kirjoitin tuossa aiemmin stokastisen muuttujan X momenttien välisestä yhteydestä. Mutta puhutaan nyt sitten otoksesta tilastotieteessä.

Olkoon otos x(1),x(2(,...,x(n). Tämän aritmeettinen keskiarvo on

m = 1/n * (x(1) x(2) ... x(n))

Varianssi on

s^2 = 1/n( (x(1) - m)^2 ... (x(n) - m)^2)

ja toinen momentti origon suhteen on

a(2) = 1/n(x(1)^2 ... x(n)^2).

(1) s^2 m^2 = a(2)^2

sillä

s^2 = 1/n((x(1) - m)^2 (x(2) - m)^2 ... (x(n) - m)^2) = 1/n(x(1)^2 x(2)^2 ... x(n)^2 n*m^2 -2(x(1) m x(2) m ... x(n) m) = a(2) m^2 - 2/n * (x(1) x(2) ... x(n)) * m = a(2) m^2 - 2 m^2 = a(2) - m^2 joten yhtälö (1) on todistettu oikeaksi.

Tuo a(2) on nyt tuo mainitsemasi rms.

Ohman

var(x)^2 E(x)^2=E(x^2), eli kysessä on satunnaisluvun neliön odeotusarvon neliöjuuri.

Eikö kukaan muu tosiaan ollut kiinnittänyt huomiota asiaan aiemmin? Minä olen monet kerrat joskus muinoin funktiolaskimeen näpyttänyt tilastoaineistoa ja laskenut sitten tunnuslukua Pythagoraan lausekkeella. Jos tiedetään tilastoaineistosta keskiarvo ja hajonta, niin sitten kolmannen tunnusluvun laskemiseen ei tarvitakaan koko aineiston läpikäymistä, vaan voidaan Pythagoraan lausekkeella saada se helposti näistä kahdesta muusta luvusta. Eikö kukaan huomaa asiasta mitään hyötyä, vaan pelkästään räyhäämisen aihetta? Jos oikein muistan, kyseessä on nimenomaan RMS.
Terveisin Setä.neuvoo.jälleen.

Ihmettelin sitä, etten ole aiemmin kuullut puhuttavan momentista tilastotieteen kohdalla, mutta muualla kyllä. Momentista on puhuttu matematiikan kaavakirjoissa: käyrän momentti. Tai fysiikan alalla esim. voiman momentti: http://www.kotiposti.net/ajnieminen/mom2.pdf

Tähänhän liittyy se, että varianssi on kiva laskea kaavalla Varianssi = E[X^2]-E[X]^2. Tästä saadaan E[X^2]=SD[X]^2 E[X]^2. Kun asetetaan rms=sqrt(E[X^2]) on tehtävä ratkastu.

Muinaiset kreikkalaiset olivat kiinnostuneita monenlaisista keskiarvoista. Kauan sitten tehtyjä vanhoja keksintöjä ovat sellaiset kuin aritmeettinen keskiarvo, geometrinen keskiarvo, harmoninen keskiarvo - ja ehkä myös tämä neliöllinen keskiarvo, RMS, jota tässä keskustelussa tavoiteltiin. Mihin kaikkeen tämä RMS tai hypotenuusa liittyy; missä sitä voidaan hyödyntää?

Olisinko aivan väärässä, jos väittäisin
- ellipsin pinta-alaa voitaisiin laskea säteen neliöllisellä keskiarvolla, kuin olisi ympyrän pinta-ala kyseessä, tai
- ellipsin eksentrisyys muistuttaa jotenkin tätä RMS:n käsitettä, tai
- tilastotieteessä variaatiokerroin muistuttaisi trigonometrian tangenttia, jos variaatiokerroin olisi laskettu perusjoukosta, ei otoksesta?

Itseäni RMS:ssä ihmetyttävät varsinkin erikoistapaukset tai ääripäät:
- jos aritmeettinen keskiarvo olisi nolla, niin sitten neliöllinen keskiarvo olisi täsmälleen sama kuin hajonta
- jos hajonta olisi nolla, sitten neliöllinen keskiarvo olisi sama kuin aritmeettinen. Eli mitä RMS oikeastaan ilmoittaa, jos suuri hajonta tai suuri aritmeettinen keskiarvo, molemmat, tai kumpi tahansa, tekisivät RMS:n suureksi?

Tilastoaineiston kuvailusta - kolmiot, ellipsit, 3D ...?

Toisenlaisia ajatuksia aiheeseen liittyen. Kun perinteisesti on kuvailtu tilastoaineistoa läpileikkauksena koordinaatistoon - jakaumaa kellokäyränä tms - niin eikö nykyajan 3D-tekniikka anna mahdollisuuksia tulostaa 3D-tulostimella vaikka amerikkalaisen jalkapallon /melonin näköinen pienoismalli, että tältä tuo tilastoaineisto näyttää? Onko tämäntyyppisiä pienoismalleja tehty? 3D-muotoinen tilaston pienoismallì?

Tai jos ajatellaan tämän keskustelun kolmioaiheita, niin mikä estäisi piirtämästä vaikka kolmiota tilastoaineiston kuvaukseksi perinteisen kellokäyräpiirroksen asemesta?

Youtube-sivuilta näitä 3D-asioita löytyy jonkin verran. Hakusanaksi esim. 3D ja jokin matematiikan aihe.

https://www.youtube.com/results?search_query=3d calculus

1. Mikähän on ellipsin "säteen neliöllinen keskiarvo"?
Jos akselien puolikkaat ovat a ja b niin ellipsin pinta-ala = pii*a*b.

a:n ja b:n rms on sqrt(1/2 (a^2 b^2))

2.a on ellipsin isoakselin puolikas ja b pikkuakselin puolikas. Kun polttopisteiden etäisyys on 2 c, niin eksentrisyys e = c/a. Miten tämä muistuttaa"RMS:n käsitettä"? On myös e = sqrt(a^2 - b^2) / a. Muistuttaako jotenkin "RMS:n käsitettä"?Voidaan myös kirjoittaa a= sqrt(b^2 c^2) mutta en silti saa eksentrisyydestä kovin rms:ää muistuttavaa. Mutta kyllä Setä saa!

3. Cov (X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))

korrelaatiokerroin = Cov(X,Y) /( sqrt(Var(X)*sqrt(Var(Y)) = Cov(X,Y) /( s(X)* s(Y))
missä X:n hajonta s(X) = sqrt(Var(X)) ja Y:n hajonta vastaavasti.

Mikä on "variaatiokerroin"?

4. Jos 1/n * ( (x(1)-m)^2 ... (x(n) - m)^2)) = 0 niin x(1) = x(2) =...= x(n) = m.

Tällöin rms = sqrt(1/n(x(1)^2 x(2)^2 ... x(n)^2) = m kuten Setä sanoi. Mutta eikö tämä tuon edellisen rivin perusteella ole melkoisen triviaali toteamus. Kaikilla x(i)-luvuillahan on sama arvo m, joka on niiden arimeettinen keskiarvokin tietysti.

Setä jatkakoon oivalluksiaan.

Ohman

Mikäkö on ellipsin säteen neliöllinen keskiarvo? Tarkoitin ellipsin keskipisteen, ei polttopisteen, etäisyyksiä kehältä ja näiden etäisyyksien neliöllistä keskiarvoa. Eli että voidaanko RMS käsittää näin: jos ellipsi väännettäisiin väkisin ympyräksi, tulisiko ympyrän säteeksi sitten ellipsin keskimääräinen säde, ja onko tämä keskimääräisyys tasan sama kuin RMS, eli onko RMS kuin ellipsin säteen keskiarvo. Kai tämä nyt menee jakeluun, että RMS:n merkitystä ollaan mietiskelemässä, tai yrittämässä ymmärtää /aiheuttaa keskustelua, mitä se on, ja mitä sillä voi tehdä käytännössä?

Variaatiokerroin on hajonta per keskiarvo. Usein ilmoitetaan prosenttilukuna. Mahdollistaa suuruusluokaltaan erilaisten aineistojen hajontalukujen vertailun.
http://qrobe.it/search/?q=variaatiokerroin

Tottakai triviaali toteamus oli, että haettiin raja-arvoja RMS:lle. Ja mitäänkö ihmeellistä sitten ei ollut siinä, että RMS olisi kahdesta luvusta aina suuremman luvun suuruinen, jos jompikumpi, joko hajonta tai keskiarvo olisi nolla? Tämä muistuttaa nimittäin ATK-matematiikkaa, Boolen algebraa, totuuslausekkeita. Mutta että tällainen käsite on sitten nimeltään keskiarvo? Miten se on mahdollista? Keskiarvo mistä? RMS ?

Asiasta ei kannata tehdä turhan monimutkikasta ja sotkeutua lillukanvarsiin. Riittää oivallus, että Var(X)=E[X^2]-E[X]^2. Mitään elliptisiä keskiarvoja ei siis ole syytä laskea.

Mikä pellekilpailu täällä on? Eikö ihminen saa ajatella ja laskea vaikka ellipsin säteen keskiarvon jos pystyy? Mitä ajatuspoliiseja te olette? Takaisin tynnyriin kasvamaan ja valot pois päältä? Siinä teidän neuvonne

Tiivistelmää tähän asti luetusta keskustelusta. Ei tämä mikään pellekilpailu ollut. Kyllä Ohman oli oikeassa siinä, että tilastotieteen kirjoissa, ja matematiikan kaavakirjoissa, on mainittu momenttia tilastotieteen kohdalla. En ollut vain kiinnittänyt tähän huomiota kovin paljon aiemmin. Momentilla voidaan laskea esim. sellaisia englanninkielisiä käsitteitä kuin skewness ja kurtosis. - Joita tosin en ikinä vielä missään ole tarvinnut toistaiseksi.

Tuohon variaatiokertoimen asiaan löytyy esimerkkiä kirjasta Taloutta ja tilastoja, Pekka Pulkkinen, sivu 311. Eri kirjoissa asioita on kerrottu eri tavoilla, ja jostain "triviaalin" näköisestä teoksesta voi yllättäen löytyä jokin mielenkiintoinen käsite tai näkemys tai yksityiskohta.

Toinen momentti olisi sitä, että tilastoaineisto korotettaisiin potenssiin kaksi, ja otettaisiin näin saadusta lukujoukosta aritmeettinen keskiarvo. Mutta ei tämä ole sama asia kuin RMS.

RMS eli
kvadraattinen keskiarvo eli
neliöllinen keskiarvo
on neliöjuuri lukujen neliöiden aritmeettisesta keskiarvosta.

Mutta vielä toistaiseksi jäivät vastausta vaille syvällisemmät /luovemmat pähkäilyt siitä, mikä RMS:n syvempi olemus voisi olla. Löytyykö muualta - kuten ellipsistä - kolmioita, jotka jotenkin muistuttavat tätä teemaa Pythagoras tilastotieteessä - tai Liisa Ihmemaassa, tai Sedän seikkailut matematiikan ihmemaassa. Joku muu oli sotkemassa keskustelua ilman Ä-pisteitä kirjoitetulla pahkina-nimimerkillään, joten siirryin tähän setämäiseen tyyliin takaisinpäin.

Seuraavaksi jatkoa sedän pähkäilylle aiheesta: onko mitään käyttökelpoista korrelaatiota, analogiaa tilastojen Pythagoraalla, verrattuna kolmioihin muualla, esim. ellipsissä?

Jos saman pinta-alaiset ellipsi ja ympyrä piirrettäisiin päällekkäin, olisiko tilaston hajonta jotenkin vastaavaa kuin summa 1) siitä ympyrän alueen osasta, joka ei osu ellipsin sisään ja 2) siitä ellipsin alueen osasta, joka ei osu ellipsin sisälle? Ettekö ole aiemmin ajatelleet tilastoja geometrisesti /spatiaalisesti? Ja tämäkö joitakin ärsyttää? Että mitäs setä nyt ilveilee? Miksi se kiusaa meitä näillä kummallisilla ajatuksilla? Eikö palstan tarkoitus ole keskustella matematiikasta, ja eikö keskusteluun sovi tietynlainen ideointi, pähkäily, ideariihi? Olisiko mitään kehitystä, jos vain räyhättäisiin, että meillä on nämä entiset kaavat, ja muuta ei saa ajatella?

Jos ellipsillä ja ympyrällä on sama pinta-ala, niin olisiko ympyrän säde keskiarvoa ellipsin säteestä?
Jos kaavojen mukaan, asiaa havainnollistaakseni, ellipsin ympärille kuviteltaisiin suorakulmainen laatikko, sivujen pituudet 2a ja 2b, niin sitten ellipsin pinta-ala olisi pii * ab.
Vastaavasti ympyrän pinta-ala on pii * r^2. Jossa ympyrä kuviteltaisiin neliöön kooltansa 2r * 2r.
Eli jos r= sqrt( ab), niin eikös tämä ole geometrinen keskiarvo mieluummin kuin RMS ?
Mutta kun ellipsin kehä kaareutuu, niin mikä oikeasti olisi ellipsin säteen keskiarvo?
Laskisitteko sitä pinta-alan kautta, ehkä ympyrään vertaamalla, vai aritmeettisena keskiarvona 360 eri säteestä ympäriinsä ellipsin keskipisteeltä kehälle päin, vai mikä mielestänne olisi ellipsin säteen keskiarvoa? Eikö löydy valmista kaavaa ellipsin säteen keskiarvon laskentaan?

Luulisin, ettei tuotakaan kirjoissa ollut valmiina, että aritmeettinen keskiarvo ^2 hajonta ^2 = RMS ^2. Vai löytyikö jostain kirjasta sellainen?

Setä kaiveli hieman asiaa ellipsistä. ELLIPSIN LINEAARINEN EKSENTRISYYS on määritelty Wikipediassa sqrt( a^2-b^2). Eli muistuttaa melkoisesti tätä Pythagoras tilastossa -aihetta, jos oikein ymmärsin.
https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section#Conic_parameters

Ja mitä johtopäätöksiä "tilaston kolmiosta" voi sitten tehdä? Eikö tämänkaltaisia:

Saman tilastoaineiston kolmio on kulmiltaan ja mittasuhteiltaan aina samanlainen. Jos esim. tilastoaineisto kauttaaltaan kerrotaan jollakin kertoimella k (esim. valuuttamuunnos markoista euroiksi), niin sitten ei muutu k-kertaiseksi vain aritmeettinen keskiarvo, vaan myös RMS ja hajonta k-kertaistuvat vastaavasti, niin että löytämäni "tilastokolmion" sivujen suhteet säilyvät täsmälleen samoina. Jos eivät säily, on tehty laskentavirhe jossakin? Eli tilastoaineiston variaatiokerroin pitäisi säilyä samana, jos tehdään jokin painotus jälkikäteen?

Mutta jos tilastoaineisto muunnetaan yhteen- tai vähennyslaskulla eri suuruiseksi (eli jos esim. lämpötilat on mitattu Celsius-asteina, ja vaihdetaan jälkikäteen yksikkö Kelvineiksi), niin sitten tilastokolmion sivujen suhteet muuttuvat. Näin esim. variaatiokerroin olisi erilainen saman tilastoaineiston perustalta tehdyissä eri versioissa, ja paljastaisi, että jotain on a) peukaloitu b) vaihdettu nollapiste eri kohtaan jollain asteikolla, niin että hajonnat ja muut eivät ole suoraan enää vertailukelpoisia? Oliko oikein päätelty?

Jatkoa kertomukselle Sedän seikkailut matematiikan ihmemaailmassa

Latus rectum tarkoittaa ellipsissä pikkuakselin suuntaista suoraa, joka on piirretty polttopisteen kautta. Ensin löysin kaavan, miten pitkä tämä latus rectum on: 2 b^2 /a. Mutta kun tarkemmin ajattelin, lavensin hieman ja sain kaavan väännettyä muotoon: pikkuakseli^2 / isoakseli. Helpompi muistaa näin? Mutta eikö ole merkillisen näköinen asia?

Kertausta ja uutta lisää keskusteluun

Ensin tämä kertaus. Olen tässä keskustelussa yleensä tarkoittanut populaation hajontaa ja aritmeettista keskiarvoa, kun olen kiteyttänyt RMS ^2 = hajonta ^2 keskiarvo ^2.
Pidän otoksen hajonnan kaavaa (jakajassa n-1) hieman epämatemaattisena tai epätieteellisenä, koska siinä yritetään päätellä koko populaation hajontaa otoksen perusteella.

Matematiikassa tai fysiikassa jos huomataan kaavaa, että jokin on neliöjuuri neliöiden summasta tai erotuksesta, niin voidaan ihmetellä, piileekö tässä asiassa Pythagoras - tai loistaako. Lisää hypoteeseja seuraavaksi.

Olisinko oikeassa jos väittäisin:

Ellipsi sopisi erinomaisesti tilaston kolmen tunnusluvun kuvaajaksi:
- pikkuakselin pituutena aritmeettinen keskiarvo
- isoakselin pituus kuin RMS eli kvadraattinen keskiarvo
- polttopisteen kohdalta löytyisi hajonta, siis etäisyys polttopisteiden välillä, ja
- eksentrisyys olisi kuin suhdeluku hajonta/RMS.

Viimeksi mainitun seikan tähden ellipsi sopii erinomaisen mainiosti tällaiseksi kuvaajaksi, koska hajonta ja RMS olisivat samalla suoralla, eli havainnollistaa kuinka suuri hajonta tekee RMS:ääkin suureksi.

Kehien ja pinta-alojen vertailua, asiaa keskiarvoista:

Jos halutaan ympyrälle sama pinta-ala kuin ellipsillä on, saadaan ympyrän halkaisijaksi ellipsin akselien geometrinen keskiarvo.
Jos halutaan ympyrälle sama kehän pituus kuin ellipsillä on, niin sitten ympyrän halkaisijaksi saadaan ellipsin akselien RMS.

Latus rectum -jänne eli ellipsin parametri:

Tässäkin piilee geometrinen keskiarvo: kun LR = pikkuakseli ^2 /isoakseli, niin voidaan pyöräyttää yhtälö muotoon pikkuakseli = sqrt (isoakseli * LR).
Toisin sanoen, pinta-alana suorakulmio isoakseli * LR olisi saman kokoinen kuin neliö pikkuakseli ^2.

Voidaanko tehdä johtopäätöksiä ja vertailua RMS:n ja muiden keskiarvojen välillä:

geometrinen keskiarvo toimii tilanteissa, että halutaan sama pinta-ala neliölle kuin on suorakulmiossa, tai sama pinta-ala ympyrälle kuin on ellipsissä. Mutta entä RMS ? Voidaanko siitä väittää mitään vastaavaa? Eihän kehää laskettaisi RMS:n kautta, jos halutaan neliölle sama kehä kuin on suorakulmiossa, vaan tähän tilanteeseen pätee aritmeettinen keskiarvo.

Entä sarjat? Moni keskiarvo on keskiluku jostain sarjasta. Esim. aritmeettinen keskiarvo on keskimmäinen luku aritmeettisesta sarjasta. Ja geometrinen keskiarvo on keskiluku geometrisestä sarjasta. Mutta entä RMS ? Onko olemassa RMS-sarjaa? Miten sellainen voitaisiin kehittää? Miltä se näyttäisi? Esimerkkejä?

Edelleen ihmettelen tätä RMS:n olemusta.