Kommentissani / 11.5. klo 15:03 ketjuun "Pyydän apua hyvät matemaatikot!" mainitsin lopussa, että käyttämäni menetelmä käy myös xyz-avaruuden tasoja tarkasteltaessa. Näin se käy:
Olkoon tason yhtälö
(1) ax by cz = d
Vektorimuodossa tämä on
(2) (A,R) = d,
missä A = (a,b,c) ja R = (x,y,z). R on tason pisteen paikkavektori.
Jos R1 ja R2 ovat kaksi tason (2) pistettä, niin R1 - R2 on tuon tason suuntainen vektori.
(A, R1 - R2) = (A,R1) - (A,R2) = d - d = 0 joten vektori A on tason (2) normaali, Ykkösnormaali on
N = A / l A l ja tietenkin myös -N.
Jos e =/ d niin
(3) (A,R) = e
on taso joka on yhdensuuntainen tason (2) kanssa, sillä niillä on sama normaali A.
Tasojen (2) ja (3) etäisyys saadaan, kun otetaan niistä pisteet joiden paikkavektorit ovat R2 ja R3 ja lasketaan vektorin R2 - R3 projektio tasojen normaalille.
Tuo etäisyys = l (R2 - R3,N) = l (R2 - R3,A) l / lAl = l d - e l /lAl, sillä (R2,A) = d ja (R3,A) = e.
Erityisesti tason (2) etäisyys origosta eli origon kautta kulkevasta sen kanssa yhdensuuntaisesta tasosta (A,R) = 0 on ldl / lAl.
Jos meillä on piste R4 joka ei ole tasossa (2) niin tuon pisteen kautta kulkeva tason (2) kanssa yhdensuuntainen taso on
(4) (A,R) = (A, R4) eli jos (A,R4) = f niin taso on (A,R) = f.
Pisteen R4 etäisyys tasosta (2) on sama kuin näiden tasojen välinen etäisyys eli
l f - d l/lAl.
Sama asia voidaan laskea ottamalla jokin tason (2) vektori R2 ja tason (4) vektori R4 ja laskemalla vektorin R4 - R2 projektio normaalille N. Saadaan
etäisyys = l R4 - R2,A) / lAl = l f - d l / lAl.
Tässä tietenkin mikä tahansa tason (4) vektori kelpaa, sen ei tarvitse olla tuo R4-piste josta lähdettiin liikkeelle.
Ohman
Olkoon tason yhtälö
(1) ax by cz = d
Vektorimuodossa tämä on
(2) (A,R) = d,
missä A = (a,b,c) ja R = (x,y,z). R on tason pisteen paikkavektori.
Jos R1 ja R2 ovat kaksi tason (2) pistettä, niin R1 - R2 on tuon tason suuntainen vektori.
(A, R1 - R2) = (A,R1) - (A,R2) = d - d = 0 joten vektori A on tason (2) normaali, Ykkösnormaali on
N = A / l A l ja tietenkin myös -N.
Jos e =/ d niin
(3) (A,R) = e
on taso joka on yhdensuuntainen tason (2) kanssa, sillä niillä on sama normaali A.
Tasojen (2) ja (3) etäisyys saadaan, kun otetaan niistä pisteet joiden paikkavektorit ovat R2 ja R3 ja lasketaan vektorin R2 - R3 projektio tasojen normaalille.
Tuo etäisyys = l (R2 - R3,N) = l (R2 - R3,A) l / lAl = l d - e l /lAl, sillä (R2,A) = d ja (R3,A) = e.
Erityisesti tason (2) etäisyys origosta eli origon kautta kulkevasta sen kanssa yhdensuuntaisesta tasosta (A,R) = 0 on ldl / lAl.
Jos meillä on piste R4 joka ei ole tasossa (2) niin tuon pisteen kautta kulkeva tason (2) kanssa yhdensuuntainen taso on
(4) (A,R) = (A, R4) eli jos (A,R4) = f niin taso on (A,R) = f.
Pisteen R4 etäisyys tasosta (2) on sama kuin näiden tasojen välinen etäisyys eli
l f - d l/lAl.
Sama asia voidaan laskea ottamalla jokin tason (2) vektori R2 ja tason (4) vektori R4 ja laskemalla vektorin R4 - R2 projektio normaalille N. Saadaan
etäisyys = l R4 - R2,A) / lAl = l f - d l / lAl.
Tässä tietenkin mikä tahansa tason (4) vektori kelpaa, sen ei tarvitse olla tuo R4-piste josta lähdettiin liikkeelle.
Ohman
Vastaukset
Vanhimmat
Ei vielä vastauksia
Aloittaja odottaa vastauksia. Kerro oma näkemyksesi ensimmäisenä.