Setä heittää eräänlaisella luovalla intuitiolla uuden teoreeman. Vai onko joku väittänyt samanlaista aikaisemmin?
Osaako joku todistaa oikeaksi tai vääräksi väitteeni, että kolmea suuremman alkuluvun neliö on aina yhdellä suurempi kuin kuudella jaollinen luku?
Osaako joku todistaa oikeaksi tai vääräksi väitteeni, että kolmea suuremman alkuluvun neliö on aina yhdellä suurempi kuin kuudella jaollinen luku?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Koska p on alkuluku se ei ole parillinen. Myöskään p^2 ei ole parillinen joten p^2-1 on.
Pätee p^2-1=(p 1)*(p-1).
Koska p on alkuluku se ei ole jaollinen kolmella. Täten joko p 1 tai p-1 ovat jaollisia kolmella.
Koska p^2-1 on jaollinen aina kahdella ja kolmella on se jaollinen kuudella.
Itseasiassa vahvempikin tulos pätee:
Koska p^2-1=(p 1)*(p-1) ja p 1 sekä p-1 ovat perättäisiä parillisia lukuja on toinen luvuista p 1 ja p-1 jaollinen kahdella ja toinen neljällä. Siispä p^2-1 on jaollinen kahdeksalla sekä kolmella.
Eli p^2-1≡0 (mod 24) eli p^2 - 1 = 24*n
Kolmea suurempi alkuluku on muotoa 6n -1= -1 mod 6, joten sen neliö on ( -1)^2=1 mod 6.
Itse asiassa alkuluvut (poislukien 2 ja 3) ovat muotoa 6n /-1. (mieti miksi). Siksipä (6n -1)^2=36n^2 -12n 1=12n(3n -1) 1. Koska joko n tai 3n /-1 on parillinen, ovat alkulukujen (paitsi 2 ja 3) neliöt muotoa 24m 1.
Toivottavasti tämä nyt ei ollut kenenkään läksy, mikä tässä tuli tehtyä.
Kiitoksia mainioista todisteluista!
Uusi keskustelu, laajemmin näistä neliöasioista ja kuudella jakamisen jakojäännöksistä:
http://keskustelu.suomi24.fi/t/14870994/neliot-alkuluvut-ja-mod-6