Alkulukujen neliötkö muotoa 6x +1

Koska p on alkuluku se ei ole parillinen. Myöskään p^2 ei ole parillinen joten p^2-1 on.

Pätee p^2-1=(p 1)*(p-1).

Koska p on alkuluku se ei ole jaollinen kolmella. Täten joko p 1 tai p-1 ovat jaollisia kolmella.

Koska p^2-1 on jaollinen aina kahdella ja kolmella on se jaollinen kuudella.

Itseasiassa vahvempikin tulos pätee:

Koska p^2-1=(p 1)*(p-1) ja p 1 sekä p-1 ovat perättäisiä parillisia lukuja on toinen luvuista p 1 ja p-1 jaollinen kahdella ja toinen neljällä. Siispä p^2-1 on jaollinen kahdeksalla sekä kolmella.

Eli p^2-1≡0 (mod 24) eli p^2 - 1 = 24*n

Kolmea suurempi alkuluku on muotoa 6n -1= -1 mod 6, joten sen neliö on ( -1)^2=1 mod 6.

Itse asiassa alkuluvut (poislukien 2 ja 3) ovat muotoa 6n /-1. (mieti miksi). Siksipä (6n -1)^2=36n^2 -12n 1=12n(3n -1) 1. Koska joko n tai 3n /-1 on parillinen, ovat alkulukujen (paitsi 2 ja 3) neliöt muotoa 24m 1.

Toivottavasti tämä nyt ei ollut kenenkään läksy, mikä tässä tuli tehtyä.

Kiitoksia mainioista todisteluista!
Uusi keskustelu, laajemmin näistä neliöasioista ja kuudella jakamisen jakojäännöksistä:
http://keskustelu.suomi24.fi/t/14870994/neliot-alkuluvut-ja-mod-6