Elikkäs koitan tässä harjoitella todistamista, tää on varmaan oikeesti aika simppeli mutta en vaan tajua nyt. Se siis pitää tehdä kahteen suuntaan, riittää suunta => tässä vaiheessa.
a ≡ b (mod n), jos ja vain jos n | (a-b)
Ymmärrän siis, että tässä pitää osoittaa että luvuilla a ja b on sama jakojäännös kun jaetaan luvulla n? Miten lähtisitte tässä liikenteeseen? En kaipaa koko ratkaisua.
Jakoyhtälöä tässä varmaan voi käyttää jotenkin? (a=qb r ja 0<=r<|b|)
Jos (a-b) on jaollinen n:llä, täytyy olla k niin että a-b = kn, ja ainakin a = kn b
mut en saa tätä nyt, et miten ihmeessä todistan että tuo a ja b on samoja
a ≡ b (mod n), jos ja vain jos n | (a-b)
Ymmärrän siis, että tässä pitää osoittaa että luvuilla a ja b on sama jakojäännös kun jaetaan luvulla n? Miten lähtisitte tässä liikenteeseen? En kaipaa koko ratkaisua.
Jakoyhtälöä tässä varmaan voi käyttää jotenkin? (a=qb r ja 0<=r<|b|)
Jos (a-b) on jaollinen n:llä, täytyy olla k niin että a-b = kn, ja ainakin a = kn b
mut en saa tätä nyt, et miten ihmeessä todistan että tuo a ja b on samoja
Vastaukset 14
Vanhimmat
En tiedä, osaanko sanoa tuosta mitään matemaatikkojen kielellä, tai kaavojen pyörittelyn kautta. Mutta kansantajuisemmin, onko asia tämän tyyppinen kuin itse olen kohdannut päässälaskulla lukuja jakaessa tekijöihin. Nimittäin, jos on vaikka luku 247 yllättäen jossakin, ja sitten jos yritän päässälaskulla arvailla, onko se alkuluku vai millä jaollinen, niin laskentaa helpottaa, jos voin pyöreästi laskea lähelle osuvan kertolaskun tulon, ja siitä lähteä sitten testailemaan, onko tämän tulon ja 247:n erotus jaollinen tuon tulon tekijällä. Eli voisin laskea päässä 13 * 20 = 260, joka osuu melko lähelle 247:aa, ja sitten huomaisin, että kyllä, 260-247 = 13 eli voidaan päätellä, kyllä 247 on 13:lla jaollinen. Muistuttaako tämä ajattelutapa tuota keskustelun avauksen kaavahässäkkää? Ymmärsinkö oikein, että jostain tämänkaltaisesta siinä puhuttiin, vaikka en jaksanut syvemmin kaavoihin siinä syventyä, jos ymmärsinkään, mitä kaikki merkit tarkoittivat?
Tai vastaavasti, jos luku kerrotaan yhdeksällä, niin ehkä moni tiedostamattaan ajattelee päässälaskulla, että kerrotaan 10:lla, että on helpompi laskea, ja sitten vielä 1 pois. Eli esim. 57 * 9 olisi 570 - 57 = 513. Kuitenkaan tätä ei yleensä ole ajateltu kaavaksi (10-1) * x vaikka periaatteessa kaavamaisesta ajattelutavasta siinä on kyse. Onkohan näin, että oikeasti monikin saattaa ajattelussaan käyttää jotain näppäriä matematiikan menetelmiä - tiedostamatta, että tämä on jotain erinomaista kaavaa, tai modulaariaritmetiikkaa tai muuta sellaista - kun ei ole perehtynyt, miten tämä sanotaan matematiikan kielellä, symboleilla?
Ei ehkä nyt auttanut, mutta piristi! kiitos :)
Hmm
Riittääkö tää:
a -b = kn
a = qn r
b = pn r
a-b = (qn r ) - (pn r) = qn - pn
?
Helpompi todistaa vastaesimerkin avulla, että väite ei pidä paikkaansa
Olkoon vaikka a=13, b=10 ja n=3.
Nyt n | (a-b) koska 3 | (13-10)
Mutta a = 13 ja b (mod n) = 1 , eli vastoin teesiä.
Tehtävässä piti ehkä olla a (mod n) ≡ b (mod n)
Siis luonnollisesti tuo pitää paikkaansa, sehän nyt on ihan selvä kun tuota katsookin :)
Tehtävä on ihan oikein
a+(mod+n)+≡+b+(mod+n)
Jep sori, olet oikeassa. Sekoitin tuon kongruenssin merkintätavan ≡ "on identtisesti" merkintään, josta kouluaikoinani käytettiin samaa mekintää.
Siis jos luvun a per n jakojäännös on sama kuin b per n jakojäännös, niin sitten a-b erotus on 0 mod n ? Niinkö ? Eikö se murtoluvuilla ole vielä ilmiselvempää? Esim. 5 kokonaista 4/7 - jotain kokonaista ja 4/7 = kokonaisluku? Paitsi silloin kun lukujen etumerkit erilaiset ja - räpäräpärällää:
murto-osa jotain muuta kuin puolikas? Esim. -3,5 2,5 olisi -1.
Ei tätä todisteta. Tuo on kongruenssin m ä ä r i t e l m ä.
Ohman
Tuo on joskus annettu määritelmänä, jolloin todistus ei ole mahdollista.
Hmm mut pyydetään todistamaan johdatus yliopistomatikkaan kurssin monisteessa. "Jätetty harjoitukseksi"
No joko monisteessa on virhe tai sitten annettu joku toinen määritelmä. Selviää monistetta lukemalla tai kysymällä monisteessa kirjoittajalta.
Kyllä tuo nyt vain algebran oppikirjoissa on kongruenssin määritelmä. Oletkohan lukenut tehtävän jotenkin väärin?
Ohman
-3,5 2,5 = -1,0 tasan.
3,5 2,5 = 6,0 tasan.
-3,5 -2,5 = -6,0 tasan.
Eikö modulaariaritmetiikassa ole tällainen kiinnostava pieni yksityiskohta, että jos luvuissa ä tai ö esiintyy puolikas kokonaisosan lisäksi, niin sitten lukujen ä ja ö
etumerkistä huolimatta (!)
ä ö = kokonaisluku?