Olkoon luokkahuone, jossa on pulpetteja nxm mallisessa rivistössä, eli m riviä ja n saraketta.
Ensimmäisenä päivänä oppilaat (n*m kappaletta) istuvat pulpetteihin jossakin (sattumanvaraisessa) järjestyksessä.
Toisena päivänä samat oppilaat tulevat ja istuvat taas pulpetteihin satunnaisessa järjestyksessä. Mikä on todennäköisyys kullekin määrälle pareja jotka istuvat vierekkäin molempina päivinä?
Vierekkäin istuminen katsotaan tarkoittavan samalla rivillä vierekkäin tai samalla sarakkeella vierekkäin oloksi (ei diagonaalisesti). Ja satunnaisuus tarkoittaa, että järjestys, eli n*m alkion permutaatio, valitaan näiden tasajakaumasta.
Esim:
Ensimmäinen päivä:
00 01 02
03 04 05
06 07 08
09 10 11
Toinen päivä:
06 04 05
09 00 03
02 11 08
01 07 10
Parit, jotka istuvat vierekkäin kumpanakin päivänä ovat
6, 9
4, 5
0, 3
2, 1
11, 8
7, 10
ja näitä tuli siis tällä kertaa 6 kappaletta.
Ensimmäisenä päivänä oppilaat (n*m kappaletta) istuvat pulpetteihin jossakin (sattumanvaraisessa) järjestyksessä.
Toisena päivänä samat oppilaat tulevat ja istuvat taas pulpetteihin satunnaisessa järjestyksessä. Mikä on todennäköisyys kullekin määrälle pareja jotka istuvat vierekkäin molempina päivinä?
Vierekkäin istuminen katsotaan tarkoittavan samalla rivillä vierekkäin tai samalla sarakkeella vierekkäin oloksi (ei diagonaalisesti). Ja satunnaisuus tarkoittaa, että järjestys, eli n*m alkion permutaatio, valitaan näiden tasajakaumasta.
Esim:
Ensimmäinen päivä:
00 01 02
03 04 05
06 07 08
09 10 11
Toinen päivä:
06 04 05
09 00 03
02 11 08
01 07 10
Parit, jotka istuvat vierekkäin kumpanakin päivänä ovat
6, 9
4, 5
0, 3
2, 1
11, 8
7, 10
ja näitä tuli siis tällä kertaa 6 kappaletta.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Voi pyhää kaksinkertaisuutta!
Mielenkiintoinen pulma.
En jaksanut aivan loppuun asti tehtävää laskea mutta laskin tapauksen jossa vieressä istuminen tarkoittaa ainoastaan samalla sarakkeella vieressäoloa.
Tällöin sille joka ensimmäisellä kierroksella estuu reunapöydässä on odotusarvo vieressäistuville samoille henkilöille 2/(n*(n*m-1)) ((n-2)/n)*(2/(n*m-1)) kun taas niille jotka eivät istu reunassa on odotusarvo 2*(2/(n*(n*m-1)) ((n-2)/n)*2*((1 n*m-3)/((n*m-1)*(n*m-2)))).
Odotusarvon kaikille pareille saa summaamalla jokaisen paikan odotusarvon.
Testasin laskennallisia tuloksia kokeellisiin ja näyttäisivät pitävän paikkansa.
Oletuksillasi hieman turhan monta erikoistapausta jotka pitäisi käydä läpi jotta viitsisi sitä auki ruveta laskemaan. Tuostakin tuli jo tehtävän idea selville.
Täsmennys vielä: Siis n tarkoittaa sarakkeiden lukumäärää ja vieressäolo tarkoittaa että ollaan samalla rivillä viereisillä sarakkeilla.