Tämmönen tehtävä löytyy viimeisenä kirjan kappaleesta "juurifunktioiden derivaatta", eikä aukea itselleni.
Pitäisi määrittää kahden numeron tarkkuudella erotuksen x^(3,1415) - x^(pi) suurin arvo välillä [0,1].
Vastaus on 0,000011, kun x = (3,14515/pi)^(1/pi-3,1415)
Pitäisi määrittää kahden numeron tarkkuudella erotuksen x^(3,1415) - x^(pi) suurin arvo välillä [0,1].
Vastaus on 0,000011, kun x = (3,14515/pi)^(1/pi-3,1415)
Vastaukset 17
Vanhimmat
Ei tossa mitään erikoista ole. Jos merkataan t=3 ja osia, niin y=x^t-x^pi
y`=tx^(t-1)-pix^(pi-1)=0=>lnt (t-1)lnx=lnpi (pi-1)lnx
lnx(t-pi)=ln(pi/t)=>lnx(t-pi)=ln(pi/t)=>x=(pi/t)^(1/(t-pi)). Siinä on derivaatan nollakohta.
noin se piti olla:
y`=tx^(t-1)-pix^(pi-1)=0=>lnt (t-1)lnx=lnpi (pi-1)lnx
(t-pi)*lnx=ln(pi/t)=>lnx^(t-pi)=ln(pi/t)=>x=(pi/t)^(1/(t-pi)). Siinä on derivaatan nollakohta.
Joo, minulla on virhe, koska tuossa tulee x:lle murtopotenssilauseke ja eksponentti on oltava kokonaislukumuodossa m/n, ja jos tuohon nyt sijoittaa t=3,1415, niin lauseketta ei ole määritelty.
Siis pitää heti kärkeen todeta, että luku 3,1415 on muutettava kokonaislukumuotoon 31415/10000. Palataan tähän varmaan vielä...
Taikka palataan saman tien, koska onhan siellä tuo pi myös, joten ei tuota x:n nollakohtaa ole määritelty lukion kurssissa ollenkaan. Siis, jos tämä nyt lukiotason tehtäviä on ...
Joo, lukion kirjasta. Onkohan tätä mahdollista ratkaista ilman logaritmia, kun ne tulee kirjassa vasta myöhemmin?
Tämähän olikin hyvin vaikea tehtävä. Minullahan menee tuossa eksponentti negatiiviseksi, ja tehtävän tekijällä on positiivinen eksponentti. Varsinainen ongelma onkin siis tuo negatiivinen eksponentti, jonka tehtävän tekijä on kääntänyt positiiviseksi. Tässä saattaa olla nyt niin, että tuo minun lausekkeeni johtaa väärään nollakohtaan ja pitää siis kääntää: x=(t/pi)^(1/(pi-t)). Todella hankalaa...näissä murtopotensseissa on monessa monta...
On se mahdollista, kunhan suljetaan aluksi x=0 pois tutkittavasta välistä.
y`=t*x^(t-1)-pi*x^(pi-1)=0 =>t*x^(t-1)=pi*x^(pi-1). Voidaan kertoa nyt x:llä:
t*x^t=pi*x^pi => x^pi*(pi-t*x^t/x^pi)=0 =>pi=(t*x^t)/x^pi. => t/pi=x^pi/x^t=x^(pi-t)
x= (t/pi)^(1/(pi-t))
Näinhän se tietysti olisi pitänyt heti laskeakin. Nyt se x=0 , kuten myös x=1 pitää laskea erikseen.
Kun sitä nollakohtaa ei ole kerran määritelty lausekkeena lukion kurssissa niin silloin se mahdollinen maksimikohta on haettava muilla tavoin.
Haarukoimalla se löytyy hyvin helposti annetulla tarkkuudella. Tarvitaan tietysti paljon verbaalista selitystä, tuosta nollakohdasta ja sen olemassaolosta ja määrittelemättömyydestä. Tehtävän tekijä ei tosin ole sitä itsekään todennut.
Antoihan se aloittaja heti siinä aloitteessaan tuon ratkaisun, 0-kohdan x-arvon. Kaipa se tuosta kirjasta oli saatu joten miten niin "ei ole määritelty lausekkeena lukiuon kurssissa"? Sehän on näköjään jopa annettu.
Mitähän se sienistö oikein meinaa?
Ohman
Vai eikö laskinta saa käyttää? Kyllä kai laskimista löytyy funktion x^y laskeminen. Ja erilaisista ohjelmista, kuten wolfram alpha. Vai kynällä ja paperillako nuo arvot tulisi laskea?
Tässähän on laskettava x^3,1415 - x^pii kun x:llä on tuo laskettu arvo eli x on se derivaatan 0-kohta.
Ohman
Se on aika tärkeä asia onko joku lauseke määritelty lukion kurssissa vaiko eikö. Omalta lukioajalta muistan vastaavan koetehtävän, jossa oli murtopotenssilla negatiivinen kantaluku. Monikin sen osasi kuitenkin ratkaista, siis omasta ja opettajan mielestä oikein. Yksi tavallista nerompi oppilas kuitenkin oli vastannut, että negatiivista kantalukua ei ole murtopotenssille sallittu, ja sen joutui myös opettaja sitten toteamaan ja varoitti, että YO-kirjoituksissa nämä määrittelykysymykset on otettava vakavasti. Tässä on nyt samasta asiasta kyse. Jonkun pitäisi tässäkin muistuttaa tehtävän tekijälle, että murtopotenssin eksponenttina ei lukiossa voi olla desimaali- eikä irrationaalilukuja. Siis jos tämä ihan alunpitäen on tarkoitettu lukiolaisille. Lukiolaiselle tuon nollakohdan lukuarvo ei ole olemassa, vaikka se laskimesta tuleekin.
Mistähän se sinun "negatiivinen kantalukusi" oikein tulee?
x = (3,1415/pii) ^(1/(pii - 3,1415)
Positiivisia lukuja ovat sekä kantaluku että eksponentti , onhan pii > 3,1415.
Ohman
Sori, jäi viimeinen sulkumerkki ) tuosta x:n lausekkeesta pois.
Ohman
Yhdet sulut lisää: x = (3,14515/pi)^(1/(pi-3,1415))
f(x) = x^3,1415 - x^pii kun 0 <= x <= 1.
f'(x) = 3,1415* x^2,1415 - pii* x^(pii - 1) = 0
x ^(pii - 3,1415) = 3,1415/pii
x= (3,1415/pii)^(1/(pii-3,1415))
f(0) = 0, f(1) = 0, f(x) > 0 kun 0 < x < 1 ja ainut kriittinen piste välillä 0 <= x <= 1 on tuo äskeinen joten se on piste jossa f saa maksimiarvon.
Ohman
P.o." ainut kriittiinen piste välillä 0 < x < 1..."
Ohman
Kelpaako numeerinen ratkaisu tietokoneella? Sagella
sage: x = var('x')
sage: y = diff(x^3.1415-x^pi)
sage: t=find_root(y==0,0.1,1)
sage: N(t^3.1415-t^pi)
0.0000108498641404609
sage:
Mutta eipä tuo ole todistus. Näytin vaan kuinka kätevästi kone laskee tuollaiset.