Miten tästä voi tulla vastaukseksi 76?
Koulun abit ovat juhlasalissa tiedotustilaisuudessa. Matematiikan opettaja havaitsi, että jokaisella abilla on vaatetuksessa ainakin punaista, sinistä tai ruskeaa väriä. Tarkempi havainnointi osoitti, että abeista 32:lla on (ainakin) punaista, 38:lla sinistä, 26:lla ruskeaa, 8:lla punaista ja sinistä, 7:llä sinistä ja ruskeaa, 6:lla punaista ja ruskeaa väriä sekä kaikkia kolmea väriä kahdella abilla. Kuinka monta abia koulussa oli?
Koulun abit ovat juhlasalissa tiedotustilaisuudessa. Matematiikan opettaja havaitsi, että jokaisella abilla on vaatetuksessa ainakin punaista, sinistä tai ruskeaa väriä. Tarkempi havainnointi osoitti, että abeista 32:lla on (ainakin) punaista, 38:lla sinistä, 26:lla ruskeaa, 8:lla punaista ja sinistä, 7:llä sinistä ja ruskeaa, 6:lla punaista ja ruskeaa väriä sekä kaikkia kolmea väriä kahdella abilla. Kuinka monta abia koulussa oli?
Vastaukset 10
Vanhimmat
32 38 26 - 8 - 7 - 6 2 = 96 - 21 2 = 77.
Ohman
Miksi 2 kuuluu lisätä? Eikö 2 kuuluisi vähentää?
Ei.Jos joukon A elementtien lukumäärä on L(A) niin tässä on joukot P,S ja R: L(P) = 32, L(S) = 38 ja L(R) = 26.L(P &S) = 8, L(R & S) = 7, L(P & R) = 6. L(P & S & R) = 2. Tuo & on joukkojen leikkauksen (yhteisjoukon) merkki. U on unionin (yhdysjoukon) merkki.
L(P U S U R) = L(P) L(S) L(R) - L(P & S) - L(P & R) - L(S & R) L(P & S & R)
Ohman
Vähän tulkinnanvarainen muotoilu. Sisältyykö esim: "8:lla punaista ja sinistä" myös ne, joilla on kaikkia kolmea väriä. Jos sisältyy, silloin vastaus on kaiketi:
32 38 26 - (8-2) - (7-2) -(6-2) 2 = 83
Kyllä sisältyy. Ei ole vastaus silloin noin, vaan inclusion-exclusionissa pitää juuri vähentää ne kahden leikkaukset 8, 7, ja 6 (ei pienempiä leikkauksia (kolmion mallisia, ks. esim kuvio minun viestistäni).
Noinkohan-kommentti on virheellinen. Kyllä tietenkin on P&S &R osajoukkona joukoissa P&S, P&R ja S&R.
Otetaanpa alusta.
Tunnetusti on L(A U B) = L(A) L(B) - L(A&B)
Siis L(P U S U R) = L(P U (S U R)) = L(P) L(S U R) - L(P & (S U R)) = L(P) L(S) L(R) - L(S&R) -
L((P&S) U (P&R)) = L(P) L(S) L(R) - L(S&R) - L((P&S) -L(P&R) L(P&S&R&S) =
LP) L(S) L(R)- L(P&S) - L(P&R) - L(S&R) L(P&S&R)
eli juuri kuten alunperinkin kirjoitin.
Ohman
Tuli tuohon yksi ylimääräinen sulkumerkki, p.o. L(P&S) tuossa Siis-alkavan kappaleen toisella rivillä. Tämä huomautus jotta myös Noinkohan ymmärtäisi kommentin.
Ohman
Olkoon joukkoja A(i) n kappaletta, n >= 2 niin edellä sanotun nojalla on helppo todistaa täydellisellä induktiolla, että
(1) L(A(1) U A(2) U A(3)...U A(n)) = S(L(A(i)) - S (L(A(i) & A(j))) S(L(A(i) & A(j) & A(k))) - ...
(-1)^(n-2) S(L (A(i(1) & A(i(2)) &...& A(i(n-1))) (-1)^(n - 1) L(A(1)& A(2) &...& A(n))
missä summat (S) on laskettava kaikkien kutakin muotoa olevien yhdistelmien yli. 1. summassa on termejä siis C(n,1) = n, toisessa C(n,2), kolmannessa C(n,3) jne ja viimeisessä C(n,n) = 1 kappaletta.
Jos joukon A todennäköisyys on P(A) ja yhtälössä (1) kirjoitetaan L:n sijalle P saadaan todennäköisyyslaskun yleinen yhteenlaskuväittämä.
Ohman
Auttaisiko kuvio hahmottamaan:
http://aijaa.com/et7jX0
77 sain minäkin enkä 76.
Tosiaan, jos sanotaan punaista ja sinistä, niin sehän sallii että on myös ruskeaa, mutta jos tulkitaan että annetut luvut 8, 7 ja 6 ovat "ei-viimeistä väriä sallivia", niin päästään edes lähemmäs "oikeaa" vastausta. Onko tuo vastaus 76 jostain kirjan takaa? Siellä taitaa olla virhe.
Muuten, tuo millä ainakin Ohman oli jo laskenutkin, on inclusion-exclusion periaate:
https://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion–exclusion_principle
Suomeksi ei tunnu löytyvät sitten millään, sehän olisi suomeksi "mukaan ja poisluku".
Ei, kun unohda tuo keskihöpinä, tietenkin ne luvut ovat viimeisenkin värin sallivia, siksihän minä kuviossa laskin uudet luvut "P ja S ja ei-R" ym.