Lauri Markkanen heittelee koripalloa erikoisessa todennäköisyysmaailmassa, jossa todennäköisyys että hän saa seuraavan heiton koriin on se osuus jonka hän on edellisistä heitoistaan saanut koriin. Tämä ei tietenkään ole määritelty kun heittoja ei vielä ole ja siksi oletammekin, että hän on jo heittänyt m>0 kertaa ja että w kappaletta näistä on onnistuneita heittoja.
Mikä on todennäköisyys
P(n, k) = P("Markkanen on saanut k koria, kun hän on heittänyt n kertaa")?
Huom: Oletetaan n>=m, sillä jo tapahtuneista m:stä heitosta ei tiedetä millä heitoilla onnistuneet w kappaletta ovat tulleet, vain niiden lukumäärä.
Mikä on todennäköisyys
P(n, k) = P("Markkanen on saanut k koria, kun hän on heittänyt n kertaa")?
Huom: Oletetaan n>=m, sillä jo tapahtuneista m:stä heitosta ei tiedetä millä heitoilla onnistuneet w kappaletta ovat tulleet, vain niiden lukumäärä.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Käytännössä laskisin tämän tietokoneella binääripuualgoritmia soveltaen, jos numeeriset lähtöarvot tunnetaan.
Teoreettisesti tarkastellen asia voidaan mallintaa martingaalilla, jonka vasen yläkulma, lähtöpiste, on tila (m,w) ja oikea alakulma tila (n,k). Siirtymät mistä tahansa pisteestä pisteestä (a,b) ovat mahdollisia vain pisteisiin (a 1, b) ja (a 1,b 1) vastaavilla todennäköisyyksillä (b-a)/b ja a/b.
Martingaali voidaan esittää (n-m 1, k-w 1) kokoisena matriisina (jossa vasemmalla alakolmiolla ei ole merkitystä. Lähtötilanteesta (m-w) kulkee joukko polkuja lopputilanteeseen. Kullekin polulle voidaan laskea sen tapahtumatodennäköisyys. Polkujen todennäköisyyksien sumana saadaan kysytty P(n, k).
Polkujen määrä on siis matriisin dimensioiden funktio (monellakko eri tavalla x koria voi syntyä y heitolla (helppo muodosataa). Polun todennäköisyys on sen siirtymätodennäköisyyksien tulo Lopputuloksena 'hauskoja' summalausekkeita :)
Kuulostat siltä kuin olisit vaan liimaillut hienonkuuloisia sanoja peräjälkeen ja keksinyt siinä touhutessa muutaman omankin termin.
https://www.youtube.com/watch?v=RXJKdh1KZ0w
Ootko työskennellyt tuolla?
Joo noinhan se menee, tai itse ajattelin kuinka pisteeseen (n 1, k) voidaan tulla viime kierrokselta :
P(n 1, k) = P(n, k)*(n-k)/k P(n, k-1)*(k-1)/n.
(Jos k=w, niin P(n , k-1) = 0, joten toisen termin on sama antaa olla kaavassa tässäkin tapauksessa.)
Ja lähtöarvot kun n=m:
P(m, w) = 1, P(m, k) = 0 muilla k.
Lopputulokselle löytyy melko yksinkertainen kaava, jonka voi todistaa induktiolla n:n suhteen. Aika pitkään meni kyllä itseltäni keksiä se kaava vain tutkimalla millaisia arvoja tulee. ("Reunatapauksissa" w=1 ja w=m-1 se oli helpompi huomata.)
Täällä oma ratkaisuni:
http://aijaa.com/WDMQLi
Tuo kaava on sellaista muotoa, että tuntuu kuin tälle pitäisi olla joku helppo kombinatorinen todistus, mutta en kyllä sellaista keksi.
Lemma: C(a-1,b) = (a - 1)! /( b! (a-b-1)!)
Mutta (a-b) C(a,b) = (a-b) * a!/(b!(a-b)!) = a! / (b!(a-b-1)!)
Ei taida lemmasi päteä.
Ohman
Oho, siitä unohtui kerroin a vasemmalta puolelta. Pitäisi siis olla:
a * C(a-1, b) = (a-b) * C(a,b).
Tälle lemmallehan olisi kiva vaikka tämmöinen todistus:
"Valitaan a:sta kappaleesta yksi poistettava ja sitten lopuista b kappaletta otettavia"
=
"Valitaan a:sta kappaleesta b otettavaa ja sitten lopuista (a-b) kappaleesta yksi poistettava"
Poistettava ei tule valittuihin kummassakaan tapauksessa, joten ei ole väliä valitseeko sen ensin vai jälkikäteen.