Pöydällä on rivissä 6 korttia, joiden toinen puoli on punainen ja toinen sininen. Heitellään rehellistä noppaa ja käännetään aina silmäluvun osoittamas kortti.
Aluksi kortit ovat "PSPSPS" eli joka toinen punainen, joka toinen sininen. Peli päättyy, kun kaikki kortit ovat samanvärisiä. Mikä on pelin pituuden odotusarvo?
---
Lisäselvityksiä, jos tarviaa:
- noppa antaa jokaisen silmäluvun 1, 2, ..., 6 yhtäsuurella todennäköisyydellä eli 1/6.
- kortit ovat [kortti1, kortti2, ..., kortti6] ja kun tulee silmäluku k, käännetään kortti_k)
- pelin pituus = nopan heittojen lukumäärä
Aluksi kortit ovat "PSPSPS" eli joka toinen punainen, joka toinen sininen. Peli päättyy, kun kaikki kortit ovat samanvärisiä. Mikä on pelin pituuden odotusarvo?
---
Lisäselvityksiä, jos tarviaa:
- noppa antaa jokaisen silmäluvun 1, 2, ..., 6 yhtäsuurella todennäköisyydellä eli 1/6.
- kortit ovat [kortti1, kortti2, ..., kortti6] ja kun tulee silmäluku k, käännetään kortti_k)
- pelin pituus = nopan heittojen lukumäärä
Vastaukset 3
Vanhimmat
Laskin yhtälöryhmällä, että vastaus olisi 37.
Tämä on oikea vastaus! Itse tein Markovin ketjun, jossa on tilat 0, 1, 2 ja 3, missä luku tarkoittaa kuinka monta "vähemmän väristä" pöydällä on. Näihin pelin mukaiset siirtymätodennäköisyydet ja tila 0 absorboivaksi (tn:llä 1 pysytään tilassa 0).
Täällä on mielestäni erittäin selkeästi esitelty Markovin ketjujen perusteita:
https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf
Tässä tehtävässä tuo "Fundamental matrix" absorboivalle Markovin ketjulle (tilat 1, 2 , 3) on N =
6 6 6
15 18 18
10 12 13
(tai tuon linkin tekstin mukaan luultavasti tämän transpoosi, mutta itse laitan aina tilasta lähtevät siirtymätodennäköisyydet matriisin sarakkeisiin)
Siis kun on kolme korttia punaista/sinistä, niin odotusarvo vierailuille tiloissa 1, 2, 3 ennenkuin saavutaan tilaan 0 ja peli päättyy, on 6 18 13 = 37. Vastaavasti jos lähdettäisiin tilasta 2 eli olisi esim. 2 punaista ja 4 sinistä, niin odotusarvo olisi 6 18 12 = 36. Tilasta 1 taas maali on odotusarvoisesti 6 15 10=31 heiton päässä.
Samahan se olisi ollut laittaa tiloiksi esim. punaisten määrä ja sitten olisi ollut kaksi absorboivaa tilaa: 0 ja 6. Pitääkin ehkä kokeilla, jos siitä näkisi paremmin jotain kaavamaisuutta ja ehkä ratkaisua muillekin tapauksille kuin n=6.
En ole lukenut Markovin ketjujen odotusarvoja. Laskin seuraavasti: Puna-Sini -korttien lukumäärät ovat 3:3, 4:2, 5:1 ja 6:0, koska x:y ja y:x voidaan samastaa. Olkoon f(n) heittojen odotusarvo kun aloitetaan tilasta (6-n):n. Selvästi f(0)=0. Tilasta (6-n):n päädytään tilaan (7-n):(n-1) todennäköisyydellä n/6, muutoin tilaan (5-n):(n 1). Siis f(1)=1 1/6*f(0) 5/6*f(2), f(2)=1 2/6*f(1) 4/6*f(3) ja f(3)=1 f(2). Tästä saadaan pienellä pyörittelyllä f(1)=31, f(2)=36 ja f(3)=37.