Pöydällä on rivissä 6 korttia, joiden toinen puoli on punainen ja toinen sininen. Heitellään rehellistä noppaa ja käännetään aina silmäluvun osoittamas kortti.
Aluksi kortit ovat "PSPSPS" eli joka toinen punainen, joka toinen sininen. Peli päättyy, kun kaikki kortit ovat samanvärisiä. Mikä on pelin pituuden odotusarvo?
---
Lisäselvityksiä, jos tarviaa:
- noppa antaa jokaisen silmäluvun 1, 2, ..., 6 yhtäsuurella todennäköisyydellä eli 1/6.
- kortit ovat [kortti1, kortti2, ..., kortti6] ja kun tulee silmäluku k, käännetään kortti_k)
- pelin pituus = nopan heittojen lukumäärä
Kortti/noppa -pelin pituuden odotusarvo
Kanootti3
3
96
Vastaukset
- mathfm
Laskin yhtälöryhmällä, että vastaus olisi 37.
- Kanootti3
Tämä on oikea vastaus! Itse tein Markovin ketjun, jossa on tilat 0, 1, 2 ja 3, missä luku tarkoittaa kuinka monta "vähemmän väristä" pöydällä on. Näihin pelin mukaiset siirtymätodennäköisyydet ja tila 0 absorboivaksi (tn:llä 1 pysytään tilassa 0).
Täällä on mielestäni erittäin selkeästi esitelty Markovin ketjujen perusteita:
https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf
Tässä tehtävässä tuo "Fundamental matrix" absorboivalle Markovin ketjulle (tilat 1, 2 , 3) on N =
6 6 6
15 18 18
10 12 13
(tai tuon linkin tekstin mukaan luultavasti tämän transpoosi, mutta itse laitan aina tilasta lähtevät siirtymätodennäköisyydet matriisin sarakkeisiin)
Siis kun on kolme korttia punaista/sinistä, niin odotusarvo vierailuille tiloissa 1, 2, 3 ennenkuin saavutaan tilaan 0 ja peli päättyy, on 6 18 13 = 37. Vastaavasti jos lähdettäisiin tilasta 2 eli olisi esim. 2 punaista ja 4 sinistä, niin odotusarvo olisi 6 18 12 = 36. Tilasta 1 taas maali on odotusarvoisesti 6 15 10=31 heiton päässä.
Samahan se olisi ollut laittaa tiloiksi esim. punaisten määrä ja sitten olisi ollut kaksi absorboivaa tilaa: 0 ja 6. Pitääkin ehkä kokeilla, jos siitä näkisi paremmin jotain kaavamaisuutta ja ehkä ratkaisua muillekin tapauksille kuin n=6. - mathfm
En ole lukenut Markovin ketjujen odotusarvoja. Laskin seuraavasti: Puna-Sini -korttien lukumäärät ovat 3:3, 4:2, 5:1 ja 6:0, koska x:y ja y:x voidaan samastaa. Olkoon f(n) heittojen odotusarvo kun aloitetaan tilasta (6-n):n. Selvästi f(0)=0. Tilasta (6-n):n päädytään tilaan (7-n):(n-1) todennäköisyydellä n/6, muutoin tilaan (5-n):(n 1). Siis f(1)=1 1/6*f(0) 5/6*f(2), f(2)=1 2/6*f(1) 4/6*f(3) ja f(3)=1 f(2). Tästä saadaan pienellä pyörittelyllä f(1)=31, f(2)=36 ja f(3)=37.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mielessäni vieläkin T
Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän402012Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p451537Persut petti kannattajansa, totaalisesti !
Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,281448Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k61431- 191427
Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?
Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.11405Sinäkö se olit...
Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis21367Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat
Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin11300Hyvää yötä ja kauniita unia!
Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä21230Lepakot ja lepakkopönttö
Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta51217