Ysillä jakaminen ja MOD 9

No ei kai tossa muuta kuin että
1/9=0,111...
2/9=0,222...
...
8/9=0,888
ja n/9:n desimaaliosa on sama kuin (n-9)/9:n desimaaliosa. Lisäksi luvun jakojäännös ysillä jaettaessa on sama kuin jakojäännös kun luvun numeroiden summa jaetaan ysillä. Minulle tuo asia opetettiin lukiossa.

Jos kirjoitat luvun mutoon 2*100 4*10 7 ja jaat kunkin erikeen, saat jakaojäännösten summaksi 2 4 7, jonka jakojäännös on 4.

a = b
(9) tarkoittaa että a on kongruentti b:n kanssa modulo 9 eli että a - b on jaollinen luvulla 9. Tämä kirjoitetaan 9 l a - b eli 9 jakaa luvun a-b.

Jos n >= 1 ja a = b (9) niin 10^n * a = b (9) sillä 10^n * a - b = (10^n - 1 )a a - b ja koska 9 l 10^n - 1 ja 9 l a - b niin 9 l 10^n*a - b. Erityisesti 10^n * a = a (9) sillä a = a (9) koska 9 l a - a

Olkoon meillä luku A = a(n) * 10^n a(n-1) * 10^(n-1) .... a(1) * 10 a(0), missä 0 <= a(i) <= 9.

10^n a(n) = a(n) (9)

10^(n-1) a(n-1) = a(n-1) (9)
......
.......

10* a(1) = a(1) (9)

a(0) = a(0) (9)

Kongruenssit voi puolittain laskea yhteen. Saadaan A = a(n) a(n-1) ... a(1) a(0) (9)

eli 9 l A - (a(n) ... a(0)). Jos nyt 9 l A täytyy olla niin että 9 l a(n) ... a(0). Jos taas 9 l a(n) ... a(0) täytyy olla niin että 9 l A. Eli A on jaollinen luvulla 9 sjvs kun sen numeroiden summa on jaollinen luvulla 9.

Tätä voi sitten tietenkin iteroida. Jos A:n numeroiden summa on niin suuri, että on vaikea nähdä onko se jaollinen 9:llä niin lasketaan numeroiden summan numeroiden summa. Numeroiden summahan on jaollinen 9:llä sjvs kun sen numeroiden summa on jaollinen 9:llä, Jatketaan menettelyä kunnes saadaan niin pieni luku että on helppo nähdä tuo 9:llä jaollisuus.

Sitten aloittajan kysymykseen.

Kongruenssi a = b (9) on ekvivalenssirelaatio joka jakaa kokonaisluvut ekvivalenssiluokkiin eli tässä tapauksessa kongruenssiluokkiin. Näitä luokkia on 9 ja ne ovat (0), (1),...,.(8).a ja b kuuluvat luokkaan i sjvs kun a = i (9) ja b = i (9). Huomattakoon että luokkia on tosiaan 9, sillä (9) = (0).
(0) = (0,9,18,27,...), (1) = (1,10,19,...)...., (8) = (8,17,26,...). Luokat ovat pistevieraita ja jokainen kokonaisluku kuuluu johonkin luokkaan, negatiiviset mukaan lukien. Esim. -7 kuuluu luokkaan (2).

Kun A jaetaan luvulla 9 on tulos A = n*9 i missä i on jakojäännös ja 0 <= i <= 8.

Siis A/9 = n i/9 ja tämän desimaaliosa on iiii...iii.... (kuten helppohavainto jo totesikin).

Helppohavainto mainitsi myös että kun luku jaetaan 9:llä saadaan sama jakojäännös kuin jakamalla tuon luvun numeroiden summa 9:llä. Tämä johtuu siitä, että
a(n) 10^n a(n-1) 10^(n-1) ... a(1) 10 a(0) - (a(n) .... a(0)) = a(n) (10^n - 1) a(n-1) (10^(n-1) - 1) .... a(1)(10 - 1) josta nähdään että 9 jakaa luvun A ja sen numeroiden summan erotuksen eli että A ja tuo numeroitten summa kuuluvat samaan kongruenssiluokkaan (i).Ja i on juuri se jakojäännös joka saadaan kun (i)-luokan alkioita jaetaan 9:llä.

Että silleen...näin aamutuimaan.

Ohman

Ohman

Eli yksimielisyys vallinnee siitä, ettei yhdeksällä jakamisen jakojäännöksen laskemiseen tarvita jakolaskua, vaan riittää yhteenlasku ja/tai vähennyslasku...? Onko yhdeksän ainoa tällainen poikkeus lukujen seassa?

Kahdella jakamista olisi, jos otettaisiin luvun lopusta viimeinen numero, esim. luvusta 58 otettaisiin 8 ja jaettaisiin kahdella, saataisiin jakojäännös 0. Eli tässä tehtiin jakolasku.
Samoin kymmenellä jakamisen kohdalla. Desimaalipilkun siirto vasemmalle päin olisi kymmenellä jakamista, jakolaskua.

Mutta onko ysin lisäksi muita lukuja, joilla jakamisen jakojäännöstä ei tarvitse laskea jakolaskun kautta? Ysin tapauksessa riittää yhteen- ja/tai vähennyslasku, kuten edellä on todisteltu... Sinällään merkillinen kompakysymys tai väite olisi esim. koulussa lapsen heittää opettajalle väite, ettei jakojäännöksen laskemiseen välttämättä tarvita jakolaskua ollenkaan. Putoaisiko opettaja heti kärryiltä, ottaisi herneen nenäänsä ja alkaisi sättiä koululaista väärästä väitteestä, valheesta jopa?

No, myönnän, että periaatteessa jakolasku voidaan muuntaa vähennyslaskuksi vaikka helmitaululla tai tulitikkuaskin tikuilla, tai piirtelyllä, mutta tällaista en nyt tarkoittanut, vaan tätä ysin kaltaista asiaa...

3 on tällainen luku.
Esim. 7463 / 3. 7 4 6 3 = 20. 2 0 = 2.

7463/3 = 2487*3 2/3.

Ohman

Kaikki voidaan, koska m mod n =m kun 0<=m<n, m ja n kokonaislukuja ja m mod n = m kn mod n kaikilla kokonaisluvuilla k. Aina löytyy ilman jakolaskua sellainen kokonaisluku k, että 0<=m kn<n.

Mielestäni, vaikka hyvä yritys, Ohman on nyt erehtynyt. Kolmella jakamisen jakojäännöksen selvittämiseen voi joutua käyttämään jakolaskua. Jos luvun numeroiden summa sattuu olemaan vaikka 6, niin täytyyhän suorittaa jakolasku 6 / 3, että saadaan jakojäännös, eikö totta? Mutta ysin tapauksessa tuollaista luvun numeroiden summan jakoa ei tarvita, vaan voidaan laskea uusi summa, kunnes jakojäännös on käsillä. Voisiko tästä vääntää hypoteesin, että ysillä jakamisen jakojäännöksen laskemiseen ei tarvita jakolaskua, mutta muita tällaisia lukuja ei ole?

Sinällään toimivaa ajattelua, että tekijöiden etsiskelyä voidaan pilkkoa osiin. Esim. luvun 752 tekijät voitaisiin laskea:
752 = 800 - 48. Tästä voidaan päätellä 16 ( 50 - 3 ), eli tekijät ovat 47 ja 2^4.

Kyllä minun mielestäni Ohman on nyt erehtynyt, fuskannut, tai luntannut taulukosta, eikä laskenut oikealla jakolaskulla 6 / 3 antaa jakojäännöksen nolla. Oletko sinä syrjäyttänyt jakolaskut jollain kongruenssien taulukoilla? Jos kerran luvun numeroiden summaksi tuli 6, ja sitten päättelit, että kolmella jaollinen, niin eikö se ole jakolaskua? Et kai sinä yhteenlaskusta sitä päätellyt? Että kongruenssi 3 plus kongruenssi 3 on nolla? Miltä planeetalta tuollainen jakolasku on? Mielestäni sinä olet nyt vain hämännyt jollain kongruenssipuheella, yrittänyt selittää, ettei enää laske jakolaskua jakolaskulla, vaan kongruensseilla.

Jos oikein ymmärsin, mielestänne jakolasku voidaan välttää laskemalla hakuammunnalla jakaja jakaja jakaja, kunnes tulos>=jaettava. Näinkö jakolasku kierretään teidän mielestänne? Ei tässä mitään ymmärryksen puutetta ole, vaan kuulostaa halpamaiselta. Alun perin keskustelussa oli ajatuksena, että ysillä jakamisen jakojäännös voidaan saada suoraan yhteenlaskusta, mutta kolmosella jakaminen ei sitten osoittautunut samanlaiseksi, vaan viisasteltiin kongruensseista. Tottakai mikä hyvänsä jakojäännös voidaan selvittää kongruenssien kautta, mutta sekö muka olisi samaa kuin ysin tapauksessa pelkkä yhteenlasku? Mielestäni ei ole sama asia.