Kun ratkaisen yhtälön lg(x^2) 2=0 käyttämällä eksponentin siirtosääntöä, niin sain ratkaisuksi x=1/10. Ratkaistessani yhtälön logaritmin määritelmän avulla saan taas ratkaisuiksi x=-1/10 ja x=1/10. Miksi eksponentin siirtosääntö ei toimi tuossa oikein?
Ongelma lg-yhtälön ratkaisussa?
Enkässää
181032
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 18
Vanhimmat
määrittelyjoukko
Miten se tuohon sitten vaikuttaa? Yhtälöhän on määritelty kaikilla muilla luvuilla paitsi nollalla. Onko eksponentin siirtosäännössä joku lisäehto?
lg(x) määritelty kun x>0
|x|
Saikohan kysyjä perustellun vastauksen kysymykseensä, vaiko vain tyhjän hölinää??
Otetaas uusiks eli määritelmän mukaan:
(potenssin merkki **)
lg x**2 = -2
=> x**2 = 10**-2 = 1/100
=> x = - 1/10
Tapa 2:
lg x**2 = -2
=> 2*lg x = -2 | :2
kysymys kuuluu: mitä tässä saumassa tapahtuu, kun jatkuu...
lg x = -1 => x = 1/10
eli jonkinasteinen katoamisilmiö? Peruskaavoja mieluusti kehiin, miksi onnahtaa..
Tuo x= -1/10 ei ole logaritmin määritelmän mukaan ratkaisu. Logaritmifunktio määritellään olevan sellaisen eksponenttifunktion aexp(x)=>a^x käänteisfunktio , jossa x on positiivinen.
Eli: lg(x)^2=-2 on 10^(-2)=x^2 käänteisfunktio, jossa x pitää olla > 0 . Tapausta x=-1/10 ei siis illata
Pitäisi lukea : sellaisen ........., jossa a on positiivinen, eikä x
On siinä nyt erikoista sekoilua.
Yksinkertaisesti: lg(x^2)=2lg(x)=lg(x) lg(x).
Nyt kun tässä lg(x^2)=-2 <=> lg(x) lg(x)=-2, ja kun x on oltava positiivinen, niin negatiivinen x ei käy ratkaisuksi.
Eli ei voi ratkaista näin: lg(x^2)=-2=>10^(-2) =x^2 =>x= ±1/10 ja sitten hyväksyä tuo negatiivinen ratkaisu.
Höpsismiä. Alkuperäiseen yhtälöön sijoittamalla saa saman tuloksen, oli x positiivinen tai negatiivinen joten -1/10 kelpaa ratkaisuksi. Yksinkertaisesti.
lg(x^2)=2lg(x)=lg(x) lg(x)
on sama operaatio kuin neliöjuurtaminen ja siinä pitää ottaa huomioon etumerkit.
Myönnän, että olin pahasti väärässä, pitäisi aina tutkia ennen hutkimista. Se onkin niinpäin, että tuota x^2 eksponenttia ei voi viedä eteen muuta kuin silloin kun x on positiivinen.
Eli näin sen juuri voikin ratkaista: lg(x^2)=-2=>10^(-2)=x^2=>x=±1/10
Tai sitten näin: lg(x^2)=-2
ln(x^2)/ln(10)=-2
ln(x^2)=-2ln(10)=-ln(100).....(nyt voi viedä kakkosen eksponentiksi, koska 10>0)
ln(x^2) ln(100)=0
ln(100*x^2)=0
e^0=1=100x^2
x=±1/10
Mielenkiintoista ja samalla hassuakin, jos oletetaan, että kyseessä on oppikirjan eka tehtäviä, kun logaritmikäsitteeseen tutustutaan. Eli hassua, jos palsta siitä jo sekoaa ;)
Ajatus olisi löytyä 'ohjelmallinen' rituaali, jolla tuon kaltaisen yhtälön *käyvät* juuret löytyvät muuten kuin eri hapuilevien yritelmien kautta koostamalla.
Näyttää siltä, että pelkästään logaritmikaavamanipulointi tuottaa vain ne juuret, jotka ovat kaavojen voimassaoloalueella (ns."x>0"), muut löydettävä muuten.
Esim.nimim.aeija:n logaritmikantamanipulointi taitaa olla asian vierestä ('oheisharrastusta'), eli ei mitenkään oleellista tämän jutun pointtiin nähden.
ps. toki, luovuus on kieltämättä hyvästä, jos sitä on ja vielä tarvittavalla hetkellä käytettävissä...
Kerro meillekin ratkaisusi sitten, kun olet kasvanut isoksi.
Juu, isoksi ollaan kasvamassa, kaikin mokomin ;)
Arvelenpa vain, nyt siis minä, Sulla voisikin olla resursseja iskeä tiskiin selvät nuotit, miten esim. kyseisen luontoiset potenssi/logaritmi -hybridit rutiinisti ratkotaan, et vaan tahdo vähällä paljastaa niitä...
Luulen, että tällaisten aloitusten takana on terävästi ajatteleva koululainen (valioainesta!?), joka pienellä uteliaisuudella ainakin tai selvennyshalulla suhtautuu asiakohtiin, joiden tausta-ajatus tuntuu tarjolla olevan oppiaineksen perusteella vielä hämärältä.
Palkintona hyvällä tuurilla voi saada näistäkin ketjuista tausta- asiaa ja historiikkia, mitä sellaisenaan oppikirjasta ei välttämättä löydy; tuossa vieressä mallina on ketju "Mitä on 0 potenssiin 0?" tai vähän jäljempänä "90 asteen kulman trigonometriset funktiot", joiden vastaukset asiaosiltaan saattavat tyydyttää vaateliaammankin uteliaisuuden. Saa nähdä miten tässä käy, huolimatta väliosan höperöinneistä ;-)
Jos ei kunnon vastauksia toisilta tule, niin kasvamista odotellessa...
Menisiköhän esim näin:
lg(x^2) 2=0
2*lg|x| = -2
|x| = 1/10
x = 1/10 tai -1/10
Ai jassoo, tässähän sitä jo tynkää onkin, arvioisin asialliseksi, bravoo!
ps. tuo itseisarvon käyttö yleisemmin automaattina logaritmiyhtälön ratkaisussa vaatinee teoriaperusteluja uskottavuuden lisäämiseksi;
ainakin 'liiat' vastaukset saa karsittua kokeilemalla alkuperäiseen yhtälöön.
Mutta, jotakin kommentteja vielä tullee.
No ei ihan automaattina. Tässä tapauksessa kuitenkin x^2 = |x|^2 joten ongelmia ei pitäisi olla.
No entäs tää :
10^(lg(x^2))=10^(-2)=> x^2=1/100> x=±1/10