"Jos R-moduleilla X ja Y on yhtä mahtavat kannat, universaalisuusominaisuudesta seuraa, että ne ovat isomorfisia"
En ihan näe, miten tuo väite seuraa universaalisuusominaisuudesta. Löytyisikö joltain tähän selitys?
En ihan näe, miten tuo väite seuraa universaalisuusominaisuudesta. Löytyisikö joltain tähän selitys?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Merkitään kantoja A (X:n) ja B (Y:n). Kannat ovat yhtä mahtavat, joten näiden välillä on bijektio h: A -> B.
Nyt universaaliusominaisuuden nojalla kuvaus h voidaan laajentaa homomorfismiksi f X:ltä Y:lle. Vastaavasti h:n käänteiskuvaus voidaan laajentaa (g:ksi) ja nähdän, että nämä ovat toistensa käänteiskuvauksia, joten on löydetty isomorfismi.
Tuo, että ne on toistensa käänteisiä nähdään näin:
Olkoon x = summa x_i a_i ∈ X. Tällöin
g(f(x))
= g( summa x_i h(a_i) )
= summa x_i g(h(a_i))
= summa x_i h^{-1}(h(a_i))
= summa x_i a_i
= x.
Vastaavasti toisin päin.
Todella suuri kiitos! :)