Katsokaapas pitkän matikan kevään 2018 yo-kokeen tehtävää 12 a):
https://drive.google.com/file/d/1hUmE9ZvlFBmbvLdeBbsX4ybYxC1Z5DOn/view
Siinä pitää osoittaa, että funktio g on vähenevä mutta ei puhuta g:n määrittelyjoukosta, joten sen pitää kai olettaa implisiittisesti olevan positiiviset reaaliluvut pois lukien ykkönen (1 ei kantaluvuksi kelpaa, sillä 1^x:llä ei ole käänteisfunktiota, vaikka tätä ei tehtävässä myöskään mainita).
Mutta, mutta. Valitaan x=2 ja lasketaan
g(1/2) = -1
g(2) = 1.
Siis g(1/2) < g(1) eli g ei olekaan vähenevä.
Luultavasti olisi pitänyt rajoittaa määrittelyjoukkoa joukoksi {a>1}, mutta näin ei ole tehty ja tehtävän alussa vielä on (alkuhöpötyksissä) "a>0", joten eikö siitäkin luulisi, että myös väli ]0, 1[ on mukana?
https://drive.google.com/file/d/1hUmE9ZvlFBmbvLdeBbsX4ybYxC1Z5DOn/view
Siinä pitää osoittaa, että funktio g on vähenevä mutta ei puhuta g:n määrittelyjoukosta, joten sen pitää kai olettaa implisiittisesti olevan positiiviset reaaliluvut pois lukien ykkönen (1 ei kantaluvuksi kelpaa, sillä 1^x:llä ei ole käänteisfunktiota, vaikka tätä ei tehtävässä myöskään mainita).
Mutta, mutta. Valitaan x=2 ja lasketaan
g(1/2) = -1
g(2) = 1.
Siis g(1/2) < g(1) eli g ei olekaan vähenevä.
Luultavasti olisi pitänyt rajoittaa määrittelyjoukkoa joukoksi {a>1}, mutta näin ei ole tehty ja tehtävän alussa vielä on (alkuhöpötyksissä) "a>0", joten eikö siitäkin luulisi, että myös väli ]0, 1[ on mukana?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Piti olla:
Siis g(1/2) < g(2) eli g ei olekaan vähenevä.
Mallivastauksessakin
https://drive.google.com/file/d/1aNoEGLaBxP_vfjIhJnEHTjejCvm-LHYh/view
on mielestäni virhe "Koska y>1...". Eikö pitäisi olla vain että "y>0"? Ja tämäkäänhän ei toteudu, mikäli a<1:
x= f_a(y) = a^y, ja koska x>1 niin ykköstä pienempi a on korotettava negatiiviseen jotta saadaan yli 1. Siis onkin y<0.
Totta mooses. Nähdään myös käänteisfunktion derivaatan kautta, että a-kantainen logaritmifunktio on kasvava a suhteen kun 0<a<1.
Mielenkiintoista nähdä, miten tehtävä arvostellaan.
Monotonisuuden määritelmässä välillä [a,b] oletetaan, että funktio on määritelty välillä [a,b]. Funktiota g(a) ei ole määritelty kohdassa 1, joten monotonisuudesta kohdan sisältävällä välillä ei voida puhua. Funktio on siksi vähenevä määrittelyjoukossaan.
https://math.stackexchange.com/questions/1643935/is-tangent-monotonically-increasing
Vastaava ongelma on, onko tanx monotonisesti kasvava koko määrittelyalueessaan. Asiaa tarkatellaan linkin kysymys-vastaus-jutussa ja päädytään siihen, että tanx ei ole monotoninen koko määrittelyjoukossaan, vaikka se on sitä eri määrittelyosajoukoissa, joita erottavat epäjatkuvuuskohdat.
Niin tai näin, aika kohtuutonta laittaa lukiolaiset tarkastelemaan noin kiistanalaista kysymystä.