Olkoon D kiekko x^2 y^2 =<5 ja olkoon P neliön -5=<x=<5, -5=< y =< 5 jako sataan osaneliöön. Arvioi Riemannin summan R(f,P) avulla integraalia I = S f(x,y)dA, missä f(x,y) = x^2 y^2.
Vastaus on 1016. Minun pitäisi siis laskea tilavuus paraboloidin ja xy-tason muodostamalle möntille. Aivot on nyt ihan solmussa tämän kanssa.
Vastaus on 1016. Minun pitäisi siis laskea tilavuus paraboloidin ja xy-tason muodostamalle möntille. Aivot on nyt ihan solmussa tämän kanssa.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Itse saan siis vastaukseksi 993.
Laasketaan se todellinen tilavuus. Sylinterikoordinaatisto
x = r cos(u), y = r sin(u), z = z.
Jacobin determinantin arvo on r.
V = S(0 <=u <= 2 pii) (0 <=r <= 5) (0 <= z <= r^2) (r dz) = 2 pii S(0 <= r <= 5) (r^3 dr) = 2 pii 625/4 = 981,75.
Tuloksesi 993 on ainakin aika lähellä tätä. En nyt rupea tuota Riemannin summaa laskemaan mutta voisiko kirjan vastaus olla väärä?
Jäi tuosta du ja dr pois: V = S(0 <= u <= 2 pii) (0 <= r <= 5) (0 <= z <= r^2) (r du dr dz).
Entä mikä on tuon sisään jäävän kappaleen tilavuus. Se on
S(0 <= u <= 2 pii) (0 <= r <= 5) (r^2 <= z <= 25) (r du dr dz) = 2 pii S(0 <= r <= 5) (25 r - r^3) dr =
2 pii (625/2 - 625/4) = 1963,5.
Yhteensä molempien kappaleiden tilavuus on siis 2945,25.
Tämän täytyy olla sen sylinterin tilavuus jonka pohjan ala on pii 5^2 ja korkeus 25 eli
pii*625 niinkuin onkin.
Painovirhe vieläkin. Tuo sisään jäävän kappaleen tilavuus on 2 pii*(625/2 - 625,4) = pii*625/2 = 981,75. Yhteensä 1963,5. Ja tuon sylinterin tilavuus on siis pii*625 = 1963,5 kuten pitääkin.
Hassua kyllä, sisä- ja ulkopuoliset kappaleet ovat yhtä tilavat!
Jokohan meni oikein?
Kiekon säde r = sqrt(5). Vaikuttanee tilavuuteen.
Ajattelin, että kun oli annettu se neliö (-5,5) X (-5,5) niin se kiekko olisi sitä sivuava ja sen säde olisi 5, siis toisin kuin tehtävässä oli mainittu.Siis kiekko olisi oikeasti x^2 y^2 = 5^2.Jos sen säde tosiaan on sqrt(5) niin miksi oli sitten annettu Riemannin summaa varten paljon tarpeellista isompi neliö? Painovirhettä epäilin.
Mutta jos asia on toisin, niin olkoon tämä tehtävä minun puolestani.Vähän epäselvästi tuo oli annettu.
Minä en Riemannista ymmärrä mitään, mutta pitäisikö tuossa laskea yhteen tolppien tilavuuksia, joiden pohja-ala on 1x1 ja korkeus 25-x^2-y^2 ? Tuohon papruun olen niitä yrittänyt laskea, mutta ei siitä samaa tule kuin integroimalla. En osaa snoa pitäisikö tullakaan ja mihin suuntaan pitäisi sitten eroa tulla. Kirjan vastauksen perusteella pitäisi tulla isompi, mutta ei nuo minun laskuni mitään Riemannin summia toisaalta olekaan.
https://aijaa.com/AspbyG