Olkoon x satunnainen luku välilä 0-10 ja olkoon lisäksi y satunnainen luku väliltä 0-2. Millä todennäköisyydellä luku y on vähemmän kuin kommasoda luvusta x?
Eli tuon kaltainen tehtävä ei nyt onnistu. Sen ymmärrän että jotenkin koordinaatistoon suorakulman 2x10 tekemällä pitäisi varmaan taivutella mutta jatkosta ei tietoa. Apuja siis! Kiitos!
Eli tuon kaltainen tehtävä ei nyt onnistu. Sen ymmärrän että jotenkin koordinaatistoon suorakulman 2x10 tekemällä pitäisi varmaan taivutella mutta jatkosta ei tietoa. Apuja siis! Kiitos!
Vastaukset 2
Vanhimmat
Siinä on kaksi satunnaismuuttujaa, X ja Y. Ilmeisesti ne ovat tasajakautuneet kun satunnaisuudesta vain puhutaan (on tosin muunkinlaista satunnaisuutta olemassa kuin tasajakauma).
Kyllä, koordinaatistoon voi piirtää muuttujien yhteisen jakauman. Sehän on tasajakauma suorakaiteen [0,10]x[0, 2] yllä. Tästä pitäisi nyt siis ("kommasoda" = kolmasosa? :D) laskea todennäköisyys
P( Y < 1/3*X ).
Koska kyseessä on tasajakauma, tuon todennäköisyyden laskeminen palautuu geometriseen todennäköisyyteen, eli vain jaat suotuisan alan koko suorakaiteen alalla.
No miten sitten saat sen suotuisan alan... vinkki: piirrä suora y=1/3 * x.
Oletetaan, että tuo "satunnaisuus" tarkoittaa sitä, että X jakautuu tasaisesti välille (0,10) ja Y jakautuu tasaisesti välille (0,2). X ja Y ovat riippumattomia. X:n kertymäfunktio on F(x) = P(X <= x) = x/10 ja Y:n kf on G(y) = y/2. Tiheysfunktiot ovat f(x) = 1/10 ja g(y) = 1/2.Yhteisjakauman tf on f(x,y) = 1/20.
I(a,b) f(x) dx on f(x):n integraali yli välin (a,b).
Koko alueen todennäköisyysmassa (tnmitta) = I(0,10) I(0,2) (1/20 * dx dy) = 1
Sen alueen todennäköisyysmassa (tnmitta) jossa Y <= X/3 on
P(Y <= X/3) = I(0,6)( dx/10) I(0,x/3) (dy/2) I(6,10) (dx/10) I(0,2)(dy/2) = 1/20 I(0,6)(x/3) dx 4/10
=1/60 * I(0,6) (x/ dx) 4/10 =1/60 * Sij(0,6)( x^2/2) 4/10 = 3/10 4/10 = 7/10.
Sen alueen tnmitta jossa Y > X/3 on
P(Y > X/3) = I(0,6) dx/10 I(x/3, 2) dy/2 = 1/20 * I (0,6) (2 - x/3) dx = 1/20 * Sij(0,6) (2x - x^2/6) =
1/20 *(12 - 6) = 6/20 = 3/10.
Yhteensä 7/10 3/10 = 1 kuten pitääkin.