Tikkataulun mitat: halkaisija 341mm, napakympin halkaisija 35mm, ja yhden ”pisteosan” leveys on 17mm. Eli mikä on todennäköisyys saada 3,4 tai 5? Kirjan vastaus on 0.39 mutta olen päätynyt tulokseen 0.54. Eikös oikea varaus tule miinustamalla (pinta-aloja) välin napakymppi-6 ja välin 1-2 summa koko pinta-alasta jolloin jaa pinta ala välille 3-5?
Kuitenkin olisi hienoa jos joku muu vielä laskisi tämän laskun alle jos vaikka itselläni jokin virhe jossain.
Kuitenkin olisi hienoa jos joku muu vielä laskisi tämän laskun alle jos vaikka itselläni jokin virhe jossain.
Vastaukset 17
Vanhimmat
Mä sain tuon 0,389470334, joten taitaa kirja olla oikeassa. Piirrä kuva (tai varmaan oletjo piirtänytkin).
Helpoin ehdä laskea suotuisan osan (eli 3, 4 ja 5 renkulan eli annuluksen) ala vähentämällä kolmoseen asti olevasta ympyrästä sisempi kutoseen asti oleva ympyrä. ("Asti" tässä mukaanlukeva.)
Säde keskipisteestä vitosen ja kutosen rajalle on (huomaa: tässä pitää ottaa ysin ja kympin rajalta neljä askelta ulospäin 9, 8, 7 ja 6 yli)
35/2 4*17 = 85,5.
Kakkosen ja kolmosen rajalle taas on
35/2 7*17 = 136,5.
Siis saadaan, että se suotuisan rinkulan ala on
π * 136,5² - π * 85,5².
Koko taulun säde on 341/2 = 170,5 eli koko ala on π * 170,5 ².
Näin ollen kysytty todennäköisyys on
(π * 136,5² - π * 85,5²) / (π * 170,5 ²)
= (136,5² - 85,5²) / ( 170,5 ²)
≈ 0,39.
PS. Olisit voinut pohtia, että varmaan tuo tuloksesi 0.54 on liian suuri seuraavasti: Renkulat 1 ja 2 ovat vielä suurempia kuin nuo halutut ja kyllähän siinä keskellä on myös selvästi enemmän alaa kuin vitos-renkula. Siis vastauksen on oltava ainakin alle puoli.
On myös huomioitava, millä todennäköisyydellä tikka osuu tauluun.
Laskepa sitten tulos tapaukselle, jossa tikka osuu aina tauluun, mutta osumakohdan todennäköisyys on käänteinen etäisyyteen taulun keskustasta.
No kun jokaisen numeron pinta-ala on suoraan verrannollinen etäisyyteen taulun keskustasta, niin eikös jokainen numero tule silloin yhtä todennäköiseksi.
Kympin pinta-ala on äärellinen. Jos osumistodennäköisyys kasvaa rajatta kun lähestytään taulun keskustaa, niin todennäköisyys saada kymppi on 1.
Tarkoitin, että kympin pinta-ala on nollasta poikkeava.
Riippuu miten tuo etäisyys määritellään. Jos määritellään kyseisen numeron ulkoääriviivan etäisyytenä, kasvavat suhteelliset todennäköisyydet niin, että jos se on kympille 1, ysille 1,5, kasille 1,67.... ja ykköselle 1,8.
Ja jos etäisyys määritellään kunkin ympyränreankaa keskikohdan perusteella, ovat todennäköisyydet samat kullekin pisteluvulle.
Tuossa edellä kylläkin kysyttiin tilanteesta, jossa tikan osumistodennäköisyys on kääntäen verrannollinen etäisyyteen taulun keskustasta.
Niin, ensin pitää täsmentää, mitä tarkoitetaan. Tulkitaan niin, että osuminen pinta-alayksikköä kohti on kääntäen verrannollinen etäisyyteen taulun keskustasta. Jos määritellään etäisyys kunkin ympyränrenkaan keskikohdan perusteella, ja ympyrärenkaan leveys on 1, on kympillä etäisyys 0,5. Jos kympin suhteellinen ala on 1, on suhteellinen todennäköisyys 1/0,5=2. Ysillä etäisyys on 1,5. Ysin suhteellinen ala kymppiympyrään hähden on 4-1=3. Siten ysinkin suhteellinen todennäköisyys on 3/1,5=2. Jne, kaikilla numeroilla on sama suhteellinen todennäköisyys.
Nyt on kyllä etäisyyden käsite tulkittu todella luovasti.
No voithan esittää oman tulkintasi. Mutta sama tulos saadaan, jos etäisyyttä ei tulkita diskreetisti vaan jatkuvana. Eli etäisyys on jatkuvasti välillä 0-10, pisteluku vastaavasti välillä 10-0, ja todennäköisyys pinta-alayksikköä kohti kääntäen verrannollinen etäisyyteen. Silloin saadaan tasainen todennäköisyysjakuma.
Luovaa tulkintaa jälleen havaittavissa.
Jos jakauma on jatkuva mallin 1/r mukaisesti, niin taulun keskellä on havaittavissa melkoinen kertymä.
Noinkohan. Todennäköisyysjakauma pinta-alayksikköä kohti on silloin 1/(20*pii*r). Ja todennäköisyys dr levyiselle ympyränrenkaalle etäisyydellä r on 1/(20*pii*r) * 2*pii*r*dr = dr/10. Eli todennäköisyys saada tulos tietylle lukuvälille dr ei riipu etäisyydestä r.
Onko kyseessä hyvä vai huono tikanheittäjä?
Lähtötiedot ovat täysin puutteelliset. Ei ole järkevää tai oikein vain olettaa, että 1:n todennäköisyys on suurin ja sitten jostain syystä alle ykkösiä ei tulisi lainkaan. Ihan käytännön tilanteissa 1:iä tai 2:sia tulee usein erittäin harvoin.
Kysyjä on suuressa viisaudessaan poistanut tetävästä lauseet, joita ei tse ymmärrä tai jota ovat kysyjän mielestä kaikkien (tehtävän joskus lukeneiden) tiedossa.