Suunnikas ABCD on jaettu sivujen suuntaisilla janoilla neljäksi pienemmäksi suunnikkaaksi. Piste E on sivun BC keskipiste, ja piste F jakaa sivun DC suhteessa 2:1. Kuvion mukaan näyttää siltä, että janojen BF ja DE leikkauspiste P on janan AG jatkeella. Todista, että se todella on.
Tajusin sen verran, että AP = tAG ja sivua AB olen merkinnyt a:na ja sivua AD b:nä ja näiden kautta päässyt siihen vaiheeseen, että pitäisi verrata komponenttien kertoimia yhtälöparin avulla, mutta en ilmeisesti hahmota kertoimia oikein, kun tulee väärä vastaus vaikka mitä tekisi. Pääsen tosiaan vaiheeseen, jossa AP=AB sBF=a s(a-1/3b)
Tai AP=b t(a-1/2b)...
https://aijaa.com/GHA6SA
Tajusin sen verran, että AP = tAG ja sivua AB olen merkinnyt a:na ja sivua AD b:nä ja näiden kautta päässyt siihen vaiheeseen, että pitäisi verrata komponenttien kertoimia yhtälöparin avulla, mutta en ilmeisesti hahmota kertoimia oikein, kun tulee väärä vastaus vaikka mitä tekisi. Pääsen tosiaan vaiheeseen, jossa AP=AB sBF=a s(a-1/3b)
Tai AP=b t(a-1/2b)...
https://aijaa.com/GHA6SA
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ja tosiaan tuo toinen AP siis => AP=AD tDE=b t(a-1/2b)
Pistänpä tähän vielä toisenkin tehtävän, jonka kanssa on vaikeuksia. Tästä en siis pääse eteenpäin, kun olen todennut, että vektorien AB ja AC on oltava erisuuntaisia, jotta pisteistä muodostuu kolmio. AB= (a 1)i 3j ja AC= 2i aj (ainakin uskoisin, että on oikein...). Mutta tosiaan tehtävän anto menee näin:
Millä a:n arvoilla tason pisteet A(-1,0), B(a,3) ja C(1,a) määräävät kolmion? Millä a:n arvoilla kolmio ABC on tasakylkinen?
Tuohon ensimmäiseen kysymykseen oikea vastaus on, kun a ≠ 2 tai a ≠ -3. (Tässä kohtaa ei leikkaa, että miten nämä on ratkaistu)
Toiseen kysymykseen vastaus on, kun a=0 tai a=10 tai a=4 √10 tai a=4-√10.
Nämä pisteet eivät määrää kolmiota sjvs kun ne ovat samalla suoralla. Tämä tpahtuu sjvs kun on olemassa luku t jolle pätee (esim.) :
t(a,3) (1-t) (1,a) = (-1,0).
ta 1 - t = -1 ja 3t (1-t) a = 0
(1-a) t = 2 ja (a-3) t = a. Nähdään ettei voi olla a= 1 tai a=3 joten voidaan suorittaa jakolaskut
t = 2/(1-a) = a/(a - 3)
2a - 6 = a - a^2
a^2 a - 6 = 0 ja siis a = (- 1 /- sqrt(25))/2 = 2 tai - 3.Näillä a:n arvoilla pisteet ovat samalla suoralla:
a = 2:
t(2,3) (1-t) (1,2) = (1 t, 2 t) = (-1,0) kun t = -2.
a = -3:
t(-3,3) (1-t) (1, - 3) = (1 - 4t, -3 6t) = (- 1,0) kun t = 1/2.
Toinen kysymys. Kolmion kärkien paikkavektorit ovat A = (- 1,0). B = (a,3) ja C = (1,a).
Sivujen pituudet ovat lB - A l, l C - B l ja l A - C l.
Näistä 2 voidaan valita samanpituisiksi kyljiksii kolmella eri tavalla. Tästä saadaan 3 yhtälöä joiden ratkaisuina saadaan nuo a:n arvot Muistettava, että a = - 3 tai a = 2 eivät kelpaa jos tulevat ratkaisuiksi, sillä tuolloinhan ei syntynyt kolmiota.. Laske itse.
Molemmat tehtävät ratkeavat determinantilla, eli sen on oltava 0.
Laitetaan siitä nyt jotakin paperillekkin, Ratkaisu on lähinnä suuntaa-antava, eli hyvin epätäydellinen. Varsinkin tuon jälkimmäisen osalta.
https://aijaa.com/NBkXpf
Eipä ole tuttu tuo determinantti vielä tässä vaiheessa, ilmeisesti pitäisi komponenttien yksikäsitteisyyttä hyödyntää...
Ei tuo determinantti ole mikään pakollinen , se on vaan eräs työkalu. Itseasiassa se tulee suoraan siitä peruslauseesta: "Vektorit ovat yhdensuuntaisia jos u=t*v. "
Olen ne nyt tohon lisännyt, noita vertaamalla selvii kyllä se determinanttikin.
https://aijaa.com/hJTj55
Mä tekisin tuon ekan tehtävän ihan perusgeometrialla.
Olkoon M janojen AG ja CD leikkauspiste. Koska AD ja FG ovat yhdensuuntaisia, on ADM ja GFM yhdenmuotoisia, joten FC=2FD=2FM. Siten M on FC:n keskipiste. On siis riittävää todistaa, että G, P ja M ovat samalla suoralla. Olkoon N BF:n ja GE:n leikkauspste. Tällöin kolmiot NBE ja NFG ovat yhtenevät lauseen KKS perustella, jolloin N on GE:n keskipiste. Tällöin FMNG on suunnikas ja kolmiot PNE ja PFD ovat yhteneviä lauseen KKS perusteella. Siis P on FN:n keskipiste. Suunnikkaassa lävistäjät jakavat toisensa yhtä suuriin janoihin, joten GM kulkeen FN:n keskipisteen kautta. Siis G, P ja M ovat samalla suoralla.