Pikku pähkinä

Laila-Mielikki

1 ja 2.

Käytä Newtonin summia.

Ensinnäkin x^2 y^2 2xy=1, jolloin xy=(1-x^2-y^2)/2. Nyt x^3 y^3= (x y)(x^2 y^2) - xy(x y), jolloin 2=x^2 y^2-xy*1=x^2 y^2-(1-x^2-y^2)/2=3/2*(x^2 y^2)-1/2. Siis x^2 y^2=2/3*(2 1/2)=5/3.

Lausekkeita muokkailemalla saa varmaan tyylikkäämmän ratkasun, mutta mä vaan ratkasin ton yhtälöparin sijoittamalla y=1-x toiseen yhtälöön, ja tuli kaksi ratkaisua.

Molemmissa ratkaisuissa on luvut (3±sqrt(21))/6, toisessa vaan vaihtavat keskenään paikkaa. Siispä kysytyt symmetriset lausekkeet saavat vain yhden arvon. x^2 y^2:sta tulee tuo 5/3 ja
x^4 y^4 = 23/9.

Voidaan myös laskea kuten yllä, että xy=(1-x^2-y^2)/2=(1-(5/3))/2=-1/3 ja x^2 y^2=5/3. Nyt (x y)^4=1=x^4 y^4 xy(4(x^2 y^2) 6xy)=x^4 y^4-1/3(4(5/3)-6/3)=x^4 y^4-1/3*14/3=x^4 y^4-14/9. Siten x^4 y^4=1 14/9=23/9.

Voidaan jakaa tekijöihin myös seuraavasti:
x^3 y^3 = (x y)(x^2-xy y^2) = (x y)((x y)^2-3xy)
x^4 y^4 = (x y)(x^3 y^3)-xy(x^2 y^2)

Koska x y = 1 ja x^3 y^3 = 2 täytyy toisen luvuista x,y olla negatiivinen. Olkoon z = - y, z >0.

x - z = 1. x^3 - z^3 = 2.
x^2 z^2 - 2 x z = 1
2 = (x - z) (x^2 xz z^2) = x^2 xz z^2
3 x z = 2 - 1 = 1.xz = 1/3.
2 = x^2 z^2 1/3 joten x^2 z^2 = 2 - 1/3 = 5/3 = x^2 y^2.
x^4 z^4 = (x^2 z^2)^2 - 2 x^2 z^2 = 25/9 - 2/9 = 23/9 = x^4 y^4

Hyvin osaatte laskea, mutta ette hoksanneet miten Laila-Mielikki tähän liittyy...