Mulla on siis tällanen matskan tehtävä, jossa kysytään ensin, onko funktio f(x)=1/x^2, x<>0 jatkuva. Kirjan mallivastauksen mukaan on. Miksi? Eihän sitä ole määritelty, kun x=0.
Seuraavassa kohdassa kysytään, onko sama funktio jatkuva välillä [-1, 1]. Kirjan vastauksen mukaan ei ole, koska sitä ei ole määritelty tuolla välillä...
Miksi se siis toisessa tilanteessa olisi muka jatkuva ja toisessa ei? Selittäkää, mikä ero näissä siis oli...
Seuraavassa kohdassa kysytään, onko sama funktio jatkuva välillä [-1, 1]. Kirjan vastauksen mukaan ei ole, koska sitä ei ole määritelty tuolla välillä...
Miksi se siis toisessa tilanteessa olisi muka jatkuva ja toisessa ei? Selittäkää, mikä ero näissä siis oli...
Vastaukset 8
Vanhimmat
Selvennätkö mitä tarkoitat merkinnällä "x <> 0". Singulariteetin takia funktiosi ei ole jatkuva joukoissa, joihin nolla kuuluu.
Tosin jos haluat olla nokkela voit määritellä f(0) = inf, sillä lim_(x → 0-)f(x) = lim_(x→0 )f(x) = inf. Tällöin funktiosi on jatkuva koko reaalilukuakselilla.
tarkoitan x <> 0 että x on eri suuri kuin nolla.
Ok, tuohon väliin [-1, 1] kuuluu nolla ja ei siksi olisi jatkuva funktio. Mutta miksi funktio sitten yleisesti olisi jatkuva, jos se ei saa arvoa, kun x=0?
Funktio f(x) = 1/x^2 on jatkuva määrittelyalueellaan, ts. kun x ei ole nolla. Muistele jatkuvuuden raja-arvo -määritelmää:
Funktio on jatkuva jos lim_(x → a-)f(x) = lim_(x → a )f(x) = f(a).
Koska funktio f(x) ei ole määritelty kun x=0, ei funktio ole jatkuva pisteessä x=0. Voit tosin määritellä funktion arvon kuten aikaisemmassa viestissä mainittiin, eli voit määritellä f(0) = inf. Tuon lisäyksen jälkeen f(x) on jatkuva kaikkialla.
Ei ole. Jatkuvuuden määritelmä on se, että olipa e mikä tahansa positiiviluku niin on olemassa positiivinen luku d ja
l f(x h) - f(x) l < e kunhan l h l < d.
Funktio 1/x^2 kasvaa rajatta kun x -> 0 eikä ole määritelty pisteessä x = 0.
Tuota inf-raja-arvoa ei voi käyttää. Eri asia on jos f(x) lähenee jotain äärellistä raja-arvoa A kun x -> x(0) ja sitten määritellään että f(x(0)) = A. Tällöin saatu funktio on jatkuva. Esimerkkinä sin(x) / x josta saadaan jatkuva pisteessä x = 0 kun määritellään f(0) = 1.
Kuten Ohman hyvin tietää, esittämäni määritelmä jatkuvuudelle on ekvivalentti Ohmanin esittämän kanssa. Raja-arvoa lim_(x → 0)f(x) = inf ei epsilon-deltalla voi laskea, mutta:
Olk. M > 0. Kun | x | < | x_N | < 1/sqrt(M), niin 1/|x| > M. Siis lim_(x → 0)f(x) = inf.
Yo. nähdään että lim_(x → 0-) = lim_(x → 0 ), joten mikään ei estä määrittelemästä f(0) := lim_(x → 0)f(x) = inf. Tällöin epäjatkuvuuskohtia ei ole ja siten funktio on jatkuva kaikkialla (laajennuksen kanssa, ei ilman sitä).
Höpö höpö. En viitsi kommentoida enempää itsestään selvästä asiasta. Sinä voit tietenkin pitää käsityksesi mutta ikävää että annat aloittajalle ja muille asiaa ehkä ymmärtämättömille virheellistä tietoa.
Jos äärettömyyspiste lisätään reaalilukuihin, ei avaruus (sellaisenaan) enää ole metrinen avaruus, sillä äärettömyyden etäisyyttä muihin ei voida määritellä reaalilukuna. (Eri asia sitten jos käytetään esim. samaistusta ympyrään, [joka siitä siis tulee], ja sen etäisyyksiä).
Siis avaruus on enää vain topologinen avaruus, jossa äärettömyyden ympäristöt ovat reaalilukujen kompaktien joukkojen komplementteja. Tästä nähdään, että jonon suppeneminen äärettömyyteen on juuri ekvivalenttia sen kanssa, että
kaikilla M>0 on olemassa luonnollinen luku N, siten, että |x_j|>M, kun j>N.
Huom. tässä lisätään siis vain yksi äärettömyyspiste eli negatiivinen ääretön ja positiivinen ääretön ovat sama piste. Tämä on siis "yhden pisteen kompaktifikaatio". Voisikos muuten tehdä saman kahdella pisteellä? Tuo funktiohan olisi sitten jatkuva siinäkin, sillä se menee kummastakin suunnasta äärettömään.
Joo siis funktion jatkuvuus (ks määritelmä) on määritelty vain funktion määrittelyjoukossa, ja siinä jatkuvuusehto toteutuu. Funktio ei voi olla jatkuva sellaisessa pisteessä, jossa se ei ole määritelty ( f(a) eli f(0) yllä). Esim jos vaikka määritellään f(x)=x, kun x on rationaaliluku, f on jatkuva rationaalikujen joukossa, mutta ei millään välillä [x,x e), e>0.