Puutarhassa on 24 puuta, jotka voidaan jakaa omena- (O), kirsikka- (K) ja luumupuihin (L). Luumupuiden määrä on kolmasosa omena- ja kirsikkapuiden erotuksesta ja kirsikkapuiden määrä on puolet omena- ja luumupuiden summasta. Laske O, K ja L.
Sen verran tajuan, että eikös tästä tule tälläset L= 1/3(O-K) ja K= 1/2(O L), mutta en nyt ymmärrä, että miten tämä pitäis ratkasta.
Kiitos, jos joku osaa auttaa!
Sen verran tajuan, että eikös tästä tule tälläset L= 1/3(O-K) ja K= 1/2(O L), mutta en nyt ymmärrä, että miten tämä pitäis ratkasta.
Kiitos, jos joku osaa auttaa!
Vastaukset 8
Vanhimmat
Tämä yhtälö myös: 24=O K L
Huomaa myös, että O K L = 24
Eiköhän se näillä lähde menemään. ; )
Kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä on siis
K L O = 24
L= 1/3(O-K)
K= 1/2(O L)
Muokataan sitä hieman
K L O = 24
3L= O-K
2K= O L
Lisätään viimeiseen yhtälöön K molemmille puolille
3K= K O L = 24
K =8
Jää kahden tuntemattoman ryhmä
3L= O-8
16= O L
vähennetään yhtälöt toisistaan
3L-16 =-8-L
4L = 8
L = 2
Ratkaistaan lopuksi O
16 = O L = O 2
O=14
Ratkaisu:
K=8
L=2
O=14
Tai päissään: "kirsikkapuiden määrä on puolet omena- ja luumupuiden summasta". Siis kirsikkapuita on kolmasosa puiden kokonaismäärästä (24) eli 8. Omena- ja luumupuita yhteensä 16. "Luumupuiden määrä on kolmasosa omena- ja kirsikkapuiden erotuksesta". Omena- ja kirsikkapaiden erotuksen pitää olla siis kolmella jaollinen. Kolme on liian vähän, kuusi on sopiva. Siis luumupuita 6/3=3 ja omenapuita 8 6=14.
Juuri näin!
L = 1/3(O - K)
K = 1/2(O L)
O K L = 24
Näistä saadaan yhtälöt
(1) K 3 L - O = 0
(2) 2 K - L - O = 0
(3) K L O =24
Kun lasketaan yhteen yhtälöt (2) ja (3) saadaan 3 K = 24 eli K = 8.Sijoittamalla tämä yhtälöihin (1) ja (3) saadaan
(4) 3 L - O = - 8
(5) L O = 16
Laskemalla yhteen (4) ja (5) saadaan 4 L = 8 joten L = 2.
Sijoitetaan K ja L yhtälöön (3) ja saadaan
O = 24 - 8 - 2 = 14.
Siis K = 8, L = 2 ja O = 14
Tällaiset yksinkertaiset tapaukset menevät jopa päässälaskuna. Mutta kannattaa opetella yhtälöryhmien ratkaisu ihan systemaattisesti.
Yhtälöryhmä esitetään matriisimuodossa:
A *X = B
ja haetaan matriisin A käänteismatriisi A^-1. Sen avulla ratkaisu on
X = A^-1*B
Tässä kolmen tuntemattoman tapauksessa A on 3x3-matriisi. Alhaisen kertaluvun matriisin käänteismatriisin laskemiseen löytyy kaavat kirjoista. Kun tuntemattomia on paljon eli kertaluku on suuri, niin ratkaisu haetaan eliminoimalla tai iteroimalla.
Näkyi tuo päässälasku kyllä menneen pieleen!
Tässä tuollaiseen matriisiratkaisuun suosittelisin Cramerin sääntöä.