Olkoon X=(X_1, ..., X_n) tasajakautunut 1-säteisen n-pallon kuorelle. Mikä on sen ensimmäisen koordinaatin X_1 varianssi?
Pallonkuorelle tasajakauma, koordinaatin varianssi
Kanootti3
3118
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Enpä ryhdy tuota laskemaan, mutta saat sen n-ulotteisen pallon pinta-alojen mukaan (suhteessa x1 ulottuvuuteen).
Siihen on olemassa myös ovela oikotie.
Vinkki: Var(X_j) = E[X_j^2], sillä E[X_j]=0.
Itsekin laskin aluksi muodostamalla pdf:n x_1-koordinaatille. Se on täällä:
https://math.stackexchange.com/questions/151944/probability-distribution-of-a-coordinate-of-the-random-point-on-a-hypersphere-wi
mutta osaisiko muuten joku sanoa, miksi tuolla on lausekkeessa (1−s^2)^{(N−3)/2}, tuo N-3, eikä N-2, jonka minä olisin alunperäisessä laskussani sinne laittanut. Järkeilin jotenkin näin:
Kertymäfunktio F(s) = P(X_j < s) on vakio kertaa int_{-1}^s (1-t^2)^{(t-2)/2}dt, sillä n-ulotteisen pallon kuoren leikkaus kohdasta x_1=t ( eli leikkauksen säteeksi tulee (1-t^2)^{1/2} ) on n-1 ulotteisen pallon kuori, joka siis on n-2 ulotteinen eli sen mitta skaalautuu kuten säde potenssiin n-2. Joten pdf on tämän derivaattana juuri se mitä integraalin sisällä on. Mutta miksi siellä onkin n-3 (tämä tuottaa oikean tuloksen)?
Oikotien oivalsin vasta sitten kun olin saanut tuloksen. Jätetään se nyt paljastamatta, jos joku haluaa itse keksiä.
Paljastetaan nyt se "kikka". Koska jokainen koordinaatti on symmetrisessä asemassa, niin niiden jokaisen varianssi on sama ja koska lisäksi myöskin symmetrian takia jokaisen odotusarvo on 0, niin
Var(X_i) = E[X_i^2]
summataan kaikki varianssit (jotka siis ovat yhtä suuria) yhteen ja odotusarvon lineaarisuutta käyttäen:
n*Var(X_1)
= Var(X_1) Var(X_2) ... Var(X_n)
= E[X_1^2] E[X_2^2] ... E[X_n^2]
= E[||X||^2]
= E[1]
= 1,
joten Var(X_1) = 1/n.