Olkoon f funktio
f(x) = (2x^2 3x 1)/(2x-1) , missä x kuuluu välille [2,3]
Etsi osoittajaa ja nimittäjää arvioimalla vakio M > 0 s.e. |f(x)| ≤ M, 2 ≤ x ≤ 3
Kun lasken funktion arvot
f(2) = 5
f(3) = 5,6
niin eikö luvuksi M valita 5,6? Mitä tuo arvioiminen tässä tarkoittaa?
f(x) = (2x^2 3x 1)/(2x-1) , missä x kuuluu välille [2,3]
Etsi osoittajaa ja nimittäjää arvioimalla vakio M > 0 s.e. |f(x)| ≤ M, 2 ≤ x ≤ 3
Kun lasken funktion arvot
f(2) = 5
f(3) = 5,6
niin eikö luvuksi M valita 5,6? Mitä tuo arvioiminen tässä tarkoittaa?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Tuon funktion derivaatta on positiivinen välillä 2 <= x <= 3 joten funktio on tällä välillä kasvava ja tosiaan f(x) <= f(3) = 5,6. f on tuolla välillä psitiivinen joten l f l = f.
Jos ei tarkkaa maksimia |f(x)|:lle tarvitse etsiä, niin sitä voi arvioida niin, että arvioi osoittaajaa ylöspäin ja nimittäjää alaspäin. (Kun niissä on itseisarvot, niin ei tule merkkivaikeuksia, tyyliin mentäisiinkin negatiiviseen päin, kun nimittäjä pienenee.)
Siis |f(x)| = |2x^2 3x 1| / |2x-1| ja tutkitaan välillä [2, 3].
Koska |2x-1| >= 2*2-1 = 3, niin nimittäjä on vähintään 3.
Osoittajassa voi halutessaan tehdä niinkin karkean arvion, että (kolmio epäyhtälöllä)
|2x^2 3x 1| <= 2|x|^2 3|x| 1 <= 2*3^2 3*3 1 = 28
(tai no, itseasiassa tässä on tällä välillä yhtäsuuruus ja tuo on osoittajan maksimi joka 3:ssa saadaan, mutta jos siinä olisi miinusmerkkejä tai muuta niin noin voisi myös arvioida. Tietysti myös tarkempaa arviota halutessa voisi selvittää osoittajan maksimin).
Siis saadaan arvio |f(x)| <= 28/3.
Valitsisitko siis vakioksi M luvun 28/3 luvun 28/5 sijaan?
Mihinkä noita itseisarvoja tuossa tarvittiin? Välillä 2 <= x <= 3 sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia.
Ja osoittaja on korkeintaan 28 ilman mitään kolmioepäyhtälöitä.
Teet kärpäsestä häkäsen!
Ei kun härkäsen.
Matematiikan koetehtävissä ei koskaan riitä oikea vastaus, vaan ratkaisu on esitettävä matemaattisesti tarkasti kaikki huomioiden.
Joo, se saadaan tuolla tavoin arvioimalla (nimittäjä (itseisarvoltaan) mahdollisimman pieneksi ja osoittaja mahdollisimman suureksi (tai eihän näitäkään tarvitsisi optimoida, kunhan arvioi jotenkin)). Koska tehtävä oli vain löytää joku M>0, niin kaikki keinot ovat sallittuja :D. Jos siellä olisi monimutkaisempi lauseke, niin sitten tuosta kolmio-ey arviosta olisi hyötyä.
Lausekkeet ovat tosiaan positiivisia, mutta pidin siinä sitä itseisarvoa mukana vähän niinkuin yleisemmän tapauksen vuoksi.
Joskus se kannattaa kuvitella, että kärpänen olisikin härkänen, niin saa harjoitusta miten sen härkäsenkin voisi sitten päihittää.
Soattaapi olla niin. Soattaapi olla toesinnii.
f(x)= (x ½)(x 1)/(x-½). M= (osoittaja arvolla 3)/(nimittäjä arvolla 2)=28/3 < 10 => M=10.