Osoita raja-arvon määritelmän avulla, että lim (x-->1) (x (1/x)) = 1/2
Olen tehnyt tässä rajoitteen 1/2 < x < 3/2 sillä perusteella, että x ---> 1.
Muokkasin itseisarvolausekkeen muotoon:
|(x (1/x)) - 1/2| = 1/|2(x 1)|*|x-1|
Nyt minulla on delta-ehtoa ajatellen tarvittu |x-1|, joten arvioin rajoitteen avulla ensimmäisen termin nimittäjää alaspäin mistä seuraa:
|(x (1/x)) - 1/2| < 1/3*|x-1| < epsilon
Nyt huomioidaan rajoitteet 1 sekä 3*epsilon, ja valitaan deltaksi minimi niistä kahdesta, eli delta = 3*epsilon. Silloin |x-1| < delta mistä puolestaan seuraa |(x (1/x)) - 1/2| < e
Puuttuuko tästä päättelystä jotain?
Olen tehnyt tässä rajoitteen 1/2 < x < 3/2 sillä perusteella, että x ---> 1.
Muokkasin itseisarvolausekkeen muotoon:
|(x (1/x)) - 1/2| = 1/|2(x 1)|*|x-1|
Nyt minulla on delta-ehtoa ajatellen tarvittu |x-1|, joten arvioin rajoitteen avulla ensimmäisen termin nimittäjää alaspäin mistä seuraa:
|(x (1/x)) - 1/2| < 1/3*|x-1| < epsilon
Nyt huomioidaan rajoitteet 1 sekä 3*epsilon, ja valitaan deltaksi minimi niistä kahdesta, eli delta = 3*epsilon. Silloin |x-1| < delta mistä puolestaan seuraa |(x (1/x)) - 1/2| < e
Puuttuuko tästä päättelystä jotain?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Laitetaan nyt sitten ajatuksia tehtävästä, vaikkakin asia on minulle uutta, outoa ja hyvin vähän kiinnostavaa. Wikin avustuksella en tuosta enempää irti saanut...joku voi korjailla. Itse funktiota muutin hiukan...
https://aijaa.com/Qr8MGU
Selkee laskuvirhe siinä ainakin näkyy olevan. Korjataan se vaikka ei tämä varmaankaan sillä parane, eikä oikeaksi muutu: https://aijaa.com/5Kw2Bu
Eikös tuossa voisi rajoituua tarkastelemaan vaikkapa väliä 0...2, ja arvioida lausekeelle yläraja laittamalla nimittäjässä x=0. Sen jälkeen on aika helppoa.
Kun vielä päättelee, että 1 1=2, niin loppu on aika helppoa.
Olisit nyt vaivautunut edes kirjoittamaan tehtävän oikein.
Pisteen x = 1 riittävän pienessä ympäristössä x > 0.
l1/(x 1/x) - 1/2 l = l x / (x^2 1) - 1/2 l = (x - 1)^2 /(2 (x^2 1)) < d^2 / 2 < e kun l x - 1 l < d < sqrt(2 e) = d(e). mot.
Jos nyt tätä funktiota f(x) = 1/ (x 1/x) kuitenkin tarkoitit.
Jos taas tarkoitit että lim (x -> 1) (x 1/x) = 2 niin sitten näin:
Olkoon edelleen x > 0.
l x 1/x - 2 l = l (x^2 -2 x 1) / xl = (x - 1)^2 /x < d^2 /(1-d) jos lx-1l < d.
d^2/(1-d) < d kun 0 < d <1/2
Siis jos 0 < e < 1/2 niin lx 1/x - 2 l < e kun l x - 1 l < d < e.
Totta, mullahan on ihan väärin kirjoitettu tuo funktio, se mitä siinä pitää olla on f(x) = x/(1 x), ja tämän raja-arvo on 1/2 kun x --> 1. Oli se omassa paperissa oikein, mutta tänne tuli möhlittyä...
l x/(1 x) - 1/2 l = l 2x- 1 - x l / (2 l1 xl ) = l x - 1 l /(2l1 xl) <l x-1l/2 < e kun lx-1l < 2 e = d(e). (oli x > 0).
Mitä sanoisit tuosta ratkaisutavastani, jossa tein rajoitteen ja sen jälkeen arvoin termin 1/(2*(1 x)) nimittäjää alaspäin sen mukaan, eli sijoitin x:n paikalle puolikkaan?
Koska x -> 1 niin jossain vaiheessa tietenkin x > 1/2 ja siis 1/l2(x 1)l < 1/3. Mutta mitä tarkoitit tuolla "rajoitteet 1 sekä 3*epsilon"?Riittäähän todeta tuo, että kun lx-1l < 3 * epsilon niin
1/3 * lx-1l < epsilon.Vai enkö nyt ymmärtänyt aivoitustasi?
Kirjassa oli, että mahdolliset rajoitteet on otettava huomioon deltaa valitessa, ja olin alussa tehnyt rajoitteen siitä että liikutaan ykkösen lähistöllä. Toinen rajoite on tuo
1/3*|x-1| < epsilon <=> |x-1| < 3*epsilon
Mistä seuraisi:
d = min{1 , 3*epsilon}
Tällaista tarkoitin.