Apua tarvis

Laske ratasuoran pienin etäisyys origosta ja vähennä siitä maapallon säde.

Pyrstön sijainti (parametrinä t)

A(t) = P t*(Q-P)

ja minimoi etäisyys (tai vaikka sen neliö) maahan eli tässä tapauksessa origoon

|A|^2
= (−2 t(0-(-2)))^2 (−5 t(-3-(-5)))^2 (4 t(3,5-4))^2

Minimi on 461/33 kohdassa t=64/33.

Eli noin 14 maan säteen päässä about toisen semmosen hetken, kun mikä pisteiden mittauksen välillä oli päästä.

Kyseessä on pisteen etäisyys suorasta. Suora on

R(t) =( 1 - t) P t Q. R(0) = P. R(1) = Q. Kohtisuora vektori R(t1) maan keskipisteestä (origosta) suoralle saadaan, kun ( (A,B) on vektorien A ja B sisätulo)

(1) (R(t), R(1) - R(0)) = 0 eli kun (R(t), (2,2, - 0,5)) = 0. Saadaan

(2) R(t) = ( (1-t) (- 2) t *0, (1-t) (- 5) t (- 3), (1-t) 4 t 3, 5.)

(näet,että R(0) = (- 2, - 5, 4) = P ja R(1) = (0, - 3, 3, 5) = Q)
ja tästä edelleen

(R(t), (R(1) - R(0) ) = 2(1-t) (- 2) 2 ((1-t) (- 5) t(- 3) ) (- 0,5) ( (1 - t) 4 t 3,5)) = 0

- 4 4t 2(-5 5t - 3t) - 0,5 (4 - 4t 3,5 t) = 0

-4 4t - 10 10 t - 6t - 2 2t - 1,75 t = 0
- 16 8,25 t = 0 joten t = 16/8,25 = 1,94. Laskin nyt kaikki välivaiheet, itse laskuhan on periaatteessa yksinkertainen ja sisältyy yhtälöön (1).

Tarkastus: R(1,94) = - 0,94 P 1,94 Q

(R(1,94), Q - P) = (- 0,94 P 1,94 Q, Q - P) = - 0,94 (P,Q) 0,94 (P,P) 1,94 (Q,Q) - 1,94 (Q,P)

(P,P) = 45, (P,Q) = (Q,P) = 29 ja (Q,Q) = 21,25

ja siis (R(1,94) , Q - P) = -0,94*29 0.94*45 1,94*21,25 - 1,94 * 29 = 0,005 eli noin 0.

Vektorin R(1,94) pituus on sqrt(0,94^2 (P,P) - 0,94 * 1,94 (P,Q) - 1,94*0,94 (Q,P) 1,94^2 (Q,Q)) =

sqrt(0,94^2 * 45 - 1,88* 1,94 *29 1,94^2 * 21,25) = sqrt(13,9697) = 3,74. Tämä on pyrstötähden lyhin etäisyys maapallon keskipisteestä. Maan pinnan lähimmästä pisteestä etäisyys on siis 2,74.

Saadaan myös näin:
R(t) = ( - 2 2 t, - 5 2t, 4 - 0,5 t)
lR(t)l^2 = f(t) = 45 - 32 t 8,25 t^2
f'(t) = - 32 16,5 t. f'(t) = 0 kun t = 32/16,5 = 1,94
f(1,94) = 13,9697 joten tuo lähin etäisyys on sqrt(13,9697) = 3,74.