Pyrstötähti lähestyy maapalloa pitkin rataa, jota voidaan tarkastelujakson aikana pitää suorana. Mittausten perusteella pyrstötähden sijainti valitussa koordinaatistossa oli eräänä hetkenä P(−2,−5,4) ja hiukan myöhemmin Q(0,−3,3.5). Maapallon keskipiste sijaitsee koordinaatiston origossa ja maan säteen lukuarvo on 1. Mittayksikkönä käytetään siis maapallon sädettä.
Miten läheltä maapallon pintaa pyrstötähti kulkee?
Miten tällänen ratkastais
Miten läheltä maapallon pintaa pyrstötähti kulkee?
Miten tällänen ratkastais
Vastaukset 5
Vanhimmat
Laske ratasuoran pienin etäisyys origosta ja vähennä siitä maapallon säde.
Pyrstön sijainti (parametrinä t)
A(t) = P t*(Q-P)
ja minimoi etäisyys (tai vaikka sen neliö) maahan eli tässä tapauksessa origoon
|A|^2
= (−2 t(0-(-2)))^2 (−5 t(-3-(-5)))^2 (4 t(3,5-4))^2
Minimi on 461/33 kohdassa t=64/33.
Eli noin 14 maan säteen päässä about toisen semmosen hetken, kun mikä pisteiden mittauksen välillä oli päästä.
Ai niin tuo olikin se neliö, eli ota vielä neliöjuuri, eli vastaus on 3,7376.
tuosta vielä maapallon säde pois eli 2,7376
Kyseessä on pisteen etäisyys suorasta. Suora on
R(t) =( 1 - t) P t Q. R(0) = P. R(1) = Q. Kohtisuora vektori R(t1) maan keskipisteestä (origosta) suoralle saadaan, kun ( (A,B) on vektorien A ja B sisätulo)
(1) (R(t), R(1) - R(0)) = 0 eli kun (R(t), (2,2, - 0,5)) = 0. Saadaan
(2) R(t) = ( (1-t) (- 2) t *0, (1-t) (- 5) t (- 3), (1-t) 4 t 3, 5.)
(näet,että R(0) = (- 2, - 5, 4) = P ja R(1) = (0, - 3, 3, 5) = Q)
ja tästä edelleen
(R(t), (R(1) - R(0) ) = 2(1-t) (- 2) 2 ((1-t) (- 5) t(- 3) ) (- 0,5) ( (1 - t) 4 t 3,5)) = 0
- 4 4t 2(-5 5t - 3t) - 0,5 (4 - 4t 3,5 t) = 0
-4 4t - 10 10 t - 6t - 2 2t - 1,75 t = 0
- 16 8,25 t = 0 joten t = 16/8,25 = 1,94. Laskin nyt kaikki välivaiheet, itse laskuhan on periaatteessa yksinkertainen ja sisältyy yhtälöön (1).
Tarkastus: R(1,94) = - 0,94 P 1,94 Q
(R(1,94), Q - P) = (- 0,94 P 1,94 Q, Q - P) = - 0,94 (P,Q) 0,94 (P,P) 1,94 (Q,Q) - 1,94 (Q,P)
(P,P) = 45, (P,Q) = (Q,P) = 29 ja (Q,Q) = 21,25
ja siis (R(1,94) , Q - P) = -0,94*29 0.94*45 1,94*21,25 - 1,94 * 29 = 0,005 eli noin 0.
Vektorin R(1,94) pituus on sqrt(0,94^2 (P,P) - 0,94 * 1,94 (P,Q) - 1,94*0,94 (Q,P) 1,94^2 (Q,Q)) =
sqrt(0,94^2 * 45 - 1,88* 1,94 *29 1,94^2 * 21,25) = sqrt(13,9697) = 3,74. Tämä on pyrstötähden lyhin etäisyys maapallon keskipisteestä. Maan pinnan lähimmästä pisteestä etäisyys on siis 2,74.
Saadaan myös näin:
R(t) = ( - 2 2 t, - 5 2t, 4 - 0,5 t)
lR(t)l^2 = f(t) = 45 - 32 t 8,25 t^2
f'(t) = - 32 16,5 t. f'(t) = 0 kun t = 32/16,5 = 1,94
f(1,94) = 13,9697 joten tuo lähin etäisyys on sqrt(13,9697) = 3,74.