Yritän hakea ratkaisuja yksinkertaiselle yhtälölle x^3 y^3 z^3 = k, siten että k < 1000. Hakualua x:n, y:n ja z:n itseisarvoille on 10^15...10^16. Tuo alue näyttäsi olevan lähes täysin tyhjää. Ei mitään lähellekään sopivaa. Ja jos siirryn seuraavalle kymmenluvulle 10^16...10^17, kaikki on vielä paljon enemmän tyhjää vaikkaa seulontaa kuinka tihentäsi ja kuluttasi aikaa.
Onko ohjelmassani jotain vikaa, vai mikä mättää? Kertokaa joku sopiva kohta, jota voisi edes yritää lähemmin tarkastella. Lukukombinaatiota luulisi kyllä olevan koko ajan enemmän ja enemmän, mutta kaikki vaan vaikeutuu vaikeutumistaan. Ei mitään ongelmia pienemmillä lukualuilla. Niistä löytyy vaikka mitä. Voisiko sopivat luvut yksinkertaisesti vain loppua? Jos k:n arvon kasvattaa tuhatkertaiseksi, joitain sopivilta näyttäviä kandinaatteja näyttäisi hiukan löytymään, mutta todella erittän harvakseltaan.
Olen kokeillut monilla eri tietokoneilla, jotein ei ole ainakaan mikään laitteistovika.
Onko ohjelmassani jotain vikaa, vai mikä mättää? Kertokaa joku sopiva kohta, jota voisi edes yritää lähemmin tarkastella. Lukukombinaatiota luulisi kyllä olevan koko ajan enemmän ja enemmän, mutta kaikki vaan vaikeutuu vaikeutumistaan. Ei mitään ongelmia pienemmillä lukualuilla. Niistä löytyy vaikka mitä. Voisiko sopivat luvut yksinkertaisesti vain loppua? Jos k:n arvon kasvattaa tuhatkertaiseksi, joitain sopivilta näyttäviä kandinaatteja näyttäisi hiukan löytymään, mutta todella erittän harvakseltaan.
Olen kokeillut monilla eri tietokoneilla, jotein ei ole ainakaan mikään laitteistovika.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Mitähän oikein tarkoitat?
Puhut "itseisarvoista" joten ovatko negatiiviset luvutkin mahdollisia muuttujien arvoja? Tällöinhän esim. mitkä tahansa kolme negatiivista lukua toteuttaa ehtosi!
Jos lukujen pitää olla positiivisia niin ehtosi sanoo, että (x/10)^3 (y/10)^3 b (z/10)^3 < 1.
Jos x,y ja z ovat suuruusluokkaa 10^16 niin ehto sanoo, että suuruusluokkaa 10^45 olevan kolmen luvun summa olisi < 1. Absurdia!
Kysyjä unohti mainita, että kaikkien lukujen pitää olla kokonaislukuja. Voivat olla tietysti negatiivisiakin. Sinä kyllä tuon heti ymmärsit, mutta jostain ihmeen syystä sinulla on aina valtava tarve yrittää viisastella.
Sinä se et nyt taida ymmärtää. Jos negatiiviset luvut sallitaan niin onhan minkä tahansa kolmen negatiivisen kokonaisluvun kolmansien potenssien summa negatiivinen ja sillä on arvo k < 1000.
Etkä tainnut ymmärtää toistakaan kohtaa viestissäni.
Ja+lapsellinen+inttäminen+tavanoimaiseen+tapaan+sen+kun+jatkuu!+Jos+ja+kun+k:n++on+oltava+kokonaisluku,+väitteesi+ei+pidä+paikkaansa.+Yhtälössä+on+yhtäsuuruusmerkki+(=).+Mieti+mitä+se+takoittaa.+Paljon+yli+99,9999999+%+negatiivisista++luvuista+ei+toteuta+ko+yhtälöä.+Keksit+kyllä+esimerkkejä+ihan+itsekin+arvaamalla.+
Tällaiset tehtävät pitäisi formuloida täsmällisesti. Aloittaja ei esim. maininnut, että k on positiivinen luku tai ainakin lkl < 1000. Tämä on sinun jälkeenpäin tekemäsi lisäys.
Kanootti3:n antamista linkeistä minullekin selvisi mitä mahdollisesti tarkoitettiin.
Sinun kypsällä ja asiallisella tavalla ( ? ) kirjoittamiisi kommentteihin en enempää vastaile eli toteutan toiveesi. Mikäpä minä olen moisen järjen jättiläisen kanssa keskustelemaan.
Tuohan on kait todistettu jo kymmeniä vuosia sitten. Kuutioita kannattaa ajatella kuutiomaisina laatikoina joiden sivun pituus 1 mm:n monikerta. Kysyjän lukualueen alarajalla (10^15) kahden peräkkäisen laatikon kokoero on n. 3x10^30 mm3. Kolmelle sivulle on lisättävä 1 mm:n paksuinen lisäkerros ( 3 ohutta listaa nurkkapala). Materiaalia tarvitaan 3x10^12 kuutiokilometriä. Yli maapallon verran. Ylärajalla 100 kertaa enemmän! Jos k:n arvo on alle 1000, se vastaa alle 1 000 mm3 (= 1 millilitra) eroa.
Oletetaan kahden pienimmän laatikon olevan samankokoisia ja niiden summa mahdollisimman lähellä isoa laatikkoa. Ero on käytännössä aina valtavan suuri. Eroa voidaan pienentä kasvattamalla toista laatikko ja pienentämällä toista laatikkoa 1 mm:n kerrallaan. Ero alkaa pienentymään. Yksinkertaisella toisen asteen yhtälöllä voidaan löydetään "nollakohta", josta alkaen ero alkaa kasvamaan. Tällöin pienempää laatikkoa pitää yksinään pienetää 1 mm:llä ja hakea sitten seuraava "nollakohta".
Vaikka isommassa lukualuussa on lukuja 10 kertaa enemmän, mahdollisia "nollakohtia" löytyy aina suhteesa vähemmän ja vähemmän ja niissäkin kokoero on laskien tilastollisesti (lähes) aina keskimäärin suurempi ja suurempi. Haettuja pieniä eroja ei yksinkertaisesti löydy kuin aivan sattumalta.
Ihan kotikoneellakin voi käydä ilman mitään yhtälöitäkin läpi usean eri lukualueen alkaen 1000...10000, 10000...100000, jne. Hidastuu nopeasti, joten on pakko keksiä optimointeja. Homman vaikeus alkaa hahmottumaan. Optimoinneilla ja ytimien määrän lisäämisellä selviää pari pykälää eteenpäin ilman korkeamman matematiikan hallintaa ja vaikeita ja työläitä erikoisalgoritmeja.
Lukuja 33, 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 ja 975 ei olla taidettu vieläkään löytää(?) Ja nämä siis lukujen 4 ja 5 (mod 9) lisäksi, joille ei voi löytyäkään, sillä ainoat kuutiot mod 9 ovat 0, 1 ja -1 ja näitä kun kolme summaa, ei päästä ikinä lukuihin 4 tai 5(≡-4).
Voisikohan muita modulo-temppuja olla? Ei tietenkään kovin pienille moduloille, kai ne on testattu, mutta onko sellaista todistettu, että muista moduloista ei tule muita rajoitteita kuin nuo mitkä tulee 9:stä?
Linkkejä:
http://www.ams.org/journals/mcom/2009-78-266/S0025-5718-08-02168-6/S0025-5718-08-02168-6.pdf
http://www.hrpub.org/download/20170530/UJCMJ1-12409330.pdf
https://arxiv.org/pdf/1604.07746.pdf
74 = (−284650292555885)^3 66229832190556^3 283450105697727^3
Triviaalit rakaisut ovat silloin, kun k on kokonaisluvun kuutio. Asetetaan y=-x kaikilla x, ja k=z^3.
Muistan itse joskus hakeneeni ratkaisuja yhtälölle alle kymmenen rivin koodilla ensimmäisillä neliytimisillä i7-prosessoreilla. Pääsee todella pitkälle hetkessä. Se mitä oli löydetty 60-luvulla, selvisi muutamassa minuutissa jo ihan ekalla kokeiluajolla eikä 70-luvullakaan kulunut montaa tuntia.
Laskentaa varten (siis vain ohjelmassa) yhtälö kannattaa ehdottomasti muuttaa muotoon
x^3 - (y^3 z^3) = -k
jossa x, y, z ja k ovat positiivisia kokonaslukuja, x>y, y>=z. Helppo päätellä, että y:n on oltava (suurin piirtein isoilla luvuilla) y>=x*(1/2)^(1/3) (eli y>= x*0,7937). Osattava pyöristää oikein ja eikä toimi tietystikään ihan alkupään pienillä luvuilla. Etumerkit on helppo laittaa tulostusvaiheessa automaattisesti oikeiksi, jos ja kun tietää mitä on tekemässä. Koska kaikki ratkaisut löytyvät selkeinä listoina, jokainen virhe on heti todettavissa.
Ensimmäinen todellinen ongelma syntyi kuutiojuuren laskennan epätarkuudesta isoilla luvuilla. Perusprosessoreissa käytetään Intelin 80-bitin liukulukyksikköä. Sen tarkkuus ei riitä kovin pitkälle. Alkaa tulla mielenkiintoisia pyöristysvirheitä. En muista pienintä lukua, jonka kuutiojuuren laskenta menee väärin, mutta löytyy varmasti netistä. Helppo todeta vääräksi korottamalla kolmanteen potenssiin ja vertaamalla.
Jossakin vaiheesa oli siis pakko siirtyä ohjelmalliseen hitaaseen tarkempaa kuutiojuuren, neliöjuuren, pyöristysten yms laskentaan (gmpy2). Merkittävä hidastus ja oli pakko alkaa keksimään erilaisia optimointeja. Pääsee hiukan pitemmälle, mutta nopeasti selvisi, ettei pieniä k:n arvoja löydy juuri koskaan ja vaikka laittoi ohjelman tulostamaan kaikki tapaukset jossa k<10^12, niin ei niitäkään tullut montaa tunnissa! En millään ymmärtänyt matemaatikkojen käyttämiä verhokäyrien, pyramidien terävien huippujen ja laattakivien tarkasteluita kuukausia kestävine erilaisten valtavan suurten taulukoiden esilaskentoineen.
Uutisia:
Luku 33 löydetty!
https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0