Olkoon meillä pakka, jossa on n korttia. Näistä c1 on väriä 1, c2 väriä 2, ..., ck väriä k (c1 c2 ... ck = n).
Pelataan pasianssia, jossa pakka sekoitetaan ja käydään sitten läpi. Peli menee läpi, jos vierekkäiset kortit eivät ole ikinä samaa väriä.
Mikä on pelin läpimeno-todennäköisyys?
Otetaan konkreettisuuden vuoksi tarkasteluun
a) ci on vakiosti 2 ja n=2k
b) ci = 3, n=3k
mutta yleisemmillekin osituksille voisi toki kysymystä tarkastella.
Pelataan pasianssia, jossa pakka sekoitetaan ja käydään sitten läpi. Peli menee läpi, jos vierekkäiset kortit eivät ole ikinä samaa väriä.
Mikä on pelin läpimeno-todennäköisyys?
Otetaan konkreettisuuden vuoksi tarkasteluun
a) ci on vakiosti 2 ja n=2k
b) ci = 3, n=3k
mutta yleisemmillekin osituksille voisi toki kysymystä tarkastella.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Olen tainnut keksiä tälle yleiselle kysymykselle ratkaisun, mutta en osaa todistaa sitä.
Kysytty lukumäärä saadaan integraalina
\int_{x=0}^\infty P(x) e^{-1} dx,
missä P(x) on polynomien P_{c_j} tulo ja polynomit P_r saadaan näin
P_1(x) = x
d/dx P_r(x) = r * (P_{r-1}(x) - d/dx P_{r-1}(x))
(ja vakiotermi 0)
Huom: nämä ovat kuten Laguerren polynomit, mutta lähdetään alkuarvosta P1 = x (ja kerrotaan r:llä, eli 1/r!:aa ei tule eteen).
P1 = x
P2 = x^2-2x
P3 = x^3-6x^2 6x
P4 = x^4-12x^3 36x^2-24x
P5 = x^5-20x^4 120x^3-240x^2 120x
P6 = x^6-30x^5 300x^4-1200x^3 1800x^2-720x
Laskin tapaukset 2 ja 3 inkluusio-ekskluusiolla ja arvasin kaavan (tai en arvannut, mutta katsoin Laguerren rekursiota ja kokeilin menisikö tuo samoin ja taitaahan se mennä).
Esim 3:ssa otin joukot
{0 ja 1 vierekkäin}
{0 ja 2 vierekkäin}
{1 ja 2 vierekkäin}
ja vastaavasti muille blokeille [3..5], ..., [3k-3, 3k-1].
Sitten tutkitaan miten yhden blokin vierekkäisyydet vaikuttaa, jos blokista on yksi/kaksi joukkoa mukana leikkauksessa (kolmea ei tarvitse tutkia, silloin leikkaus on tyhjä), jos on kaksi mukana, niin siitä tulee välttämättäkin yksi kolmen pötkö, mutta se voi olla kaksin perin.
Esimerkiksi, jos on 9 korttia ja vaaditaan, että kortit 1,2,3 eivät ole vierekkäin eivätkä 4,5,6,7, mutta korteilla 8 ja 9 ei ole väliä, niin käytetetään polynomia
(x^3-6x^2 6x)(x^4-12x^3 36x^2-24x)(x)(x)
eli ajatellaan, että kortit 8 ja 9 ovat omia värejään, joita on vain yksi, jolloin niillä ei ole mitään vaikutusta. Tämä onkin yksi huomio, että, jos kaikki ovat erivärisiä, integroidaan x^n e^(-x):ää ja siitähän tulee n!.
PS.
Nelosenkin itseasiassa laskin (yhdelle blokille 6 joukkoa ja mutkikkaammat leikkauksessa mukanaoloparametrit, kaksi joukkoa voi olla kahdella tavalla mukana: täysin erilliset (3kpl) ja sitten sellainen mistä tulee yksi kolmenpalikka (12 kpl)), mutta siinä mulla tuli kahden vikan kertoimen kohdalla jotain virhettä. No päättelin sitten yhtälöryhmällä mitkä ne pitäisi olla, kun laskin koneella mitä lukuarvoja pitäisi tulla n=1*4 (tietenkin 0) ja n=2*4 (1152).