1) Tehtävässä on 3 parametriä ( R1, R2, fii ) sekä niitä koskevia reunaehtoja, ja yksi minimoitava suure, määrätty integraali nollasta Y2:teen funktiosta s3(Y3). Lisäksi halutaan tietää parametrien arvot joilla kyseinen minimi toteutuu. Kaikki paramerit ovat positiivisia reaalilukuja ja toteuttavat lisäksi seuraavat reunaehdot: 0 < fii < Pii/2 , R2 > R1.
R1 säteisen ympyräsektorin kaaren toinen reuna on origossa ja toinen pisteessä:
X1 = R1*SIN(fii) , Y1 = R1* (1- COS(fii) ) , ja ko ympyräsektorin keskipiste on: X0=0, Y0 = R1
Sen jatkona on sille tangenttina piirretty R2 säteinen ympyräsektorin kaari, jonka keskipiste:
X2 = X1 - R2*COS(Pii/2 - fii) , Y2 = Y1 R2*SIN(Pii/2 - fii)
Sen päätepisteet ovat (X1 , Y1) sekä (X2 R2 , Y2)
Ko ympyräsektorien kaaret muodostavat yhden jatkuvan käyrän jonka suunta ei muutu yhtäkkiä, eli ympyrän kaarien yhteisessä pisteessä (X1,Y1) on molemmilla kaarilla yhteinen tangentti, jonka kulmakerroin on TAN(fii).
Kyseisen käyrän ja suoran X=0 sekä suoran Y=Y2 väliin jäävä pinta-ala on suuruudeltaan yksi.
Kyseisen käyrän ja suoran X=0 sekä suoran Y=y3 väliin jää pinta-ala suuruudeltaan A3.
Kyseisen käyrän kaarenpituus origosta kohtaan Y=y3 on s3.
Piirretään paperille kuvaaja funktiosta s3(A3), kun kaksoisepäyhtälö 0 <= y3 <= Y2 toteutuu, jolloin 0 <= A3 <= 1.
Kuvaajan ja A3-akselin väliin jää tällöin pinta-ala, minkä suuruus lukuarvona vastaa tehtävässä minimoitavaa määrättyä integraalia, minkä dimensio on kuitenkin tilavuutta vastaava.
Tehtävästä saa kyllä likiarvoja parametreille ja minimoitavalle suureelle vaikkapa Excelin solverilla, mutta onko tehtävä ratkaistavissa suljetussa muodossa ja jos, niin miten, ja mitkä ovat oikeat tulokset?
2) Mikäli käyrän ei tarvitsisikaan muodostua kahdesta ympyrän kaaresta, olisiko mahdollista määrittää paras käyrän muoto ja minimoitavan suureen arvo?
Miten sellaisessa tehtävässä pääsee edes alkuun?
Siis muuten kuin kokeilemalla erilaisia käyrän muotoja, ja optimoimalla kokeilemansa kunkin erikseen. Sellaisella lähestymistavalla vaan ratkaisun löytäminen vie äärettömän ajan, ja käytetyn ajan puitteissa 1) kohta oli paras mitä löysin. Niinpä kiinnostaisi jos jollakulla olisi ehdottaa parempia lähestymistapoja tähän yleisempään ja vaativampaan toiseen tehtävään.
Mikäli omat laskelmani ovat oikein tuottaa neljännesellipsi aina huonomman tuloksen kuin 1) tehtävän optimoitu tulos. Lisäksi tiedän, että minimille saa laskettua alalikiarvon, jota pienempää tulosta ei voi saada. Se onnistuu piirtämällä kuvaaja muuttuva säteiselle neljännesympyrälle, siis sen kaarenpituus S = Pii*R/2 sen pinta-alan A = Pii*R*r/4 funktiona, ja ottamalla ko määrätty integraali nollasta yhteen funktiosta S(A). Todellisuudessa optimikäyrän on jokaisella pinta-alalla oltava kaarenpituudeltaan (sama tai) suurempi kuin neljännesympyrä.
optimointitehtävä (geometria) ja mahdollinen vaativampi jatkotehtävä
7
<50
Vastaukset
- epätietoinen2
Oikaisu, tehtävän alun olisi pitänyt olla:
Tehtävässä on 3 vakioparametriä ( R1, R2, fii ) ...
tai Tehtävässä on 3 tuntematonta vakiota ( R1, R2, fii ) ...
Kyllähän tuo asiayhteydestä muutenkin selviää, mutta korostan kuitenkin ettei kyse ole muuttujista.
Kullakin niillä on vain yksi oikea arvo, jota optimoinnin yhteydessä haetaan.- epätietoinen2
Täydennys:
... ja yksi minimoitava suure, määrätty integraali nollasta Y2:teen funktiosta s3(Y3) dY3.
eli puuttui minkä muuttujan suhteen kyseinen funktio integroidaan. Toki se epäsuorasti selviää myöhemmästä kuvauksesta jossa se määritellään kuvaajan pinta-alana.
- pitäisiilmoittaaheti
määrittele "frii"-muuttujan täsmällinen arvo jo alussa :D
- epätietoinen2
? ? ?
Tarkoitatko fii?
Se on tuntemattoman suuruinen vakiokulma, yksikkönä radiaani.
Sen arvo pitää tehtävässä optimoida, eli se ei todellakaan ole tiedossa ennestään.
fii on myös näppiksestä helposti löytyvä kirjainyhdistelmä sen vastineelle kreikkalaiselle aakkoselle, jota se kuvaa.
frii-muuttuja taas voinee viitata vaikkapa free-muuttujaan, eli free-variable, jolloin kyse on englannin kielisen käännöksen sijasta sen väännöksestä, mutten ymmärrä miten se liittyi tähän viestiketjuun?
- tulokseni
1-tehtävä:
R1 = 0,679683
R2 = 1,63124
fii = Pii/4 = 45 astetta
optimoinnin tulos = 1,21222 - 0,00005- tulokseni
2-tehtävä:
ensimmäinen kokeilemani ellipsi oli seuraava:
puoliakselit 0,921318 ja 1,381977
min ja max kaarevuussäteet 0,614212 ja 2,072965
optimoinnin tulos = 1,20156 - 0,00006
Laskin ensin kaarenpituuden Wolfram alphalla koko neljännesellipsille puoliakseleilla 2 ja 3, ja pinta-alan samalle kohteelle A_max = 1,5*Pii. Sitten laskin millä x ja y arvoilla pinta-ala on neljännesellipsin kahdeksasosa, ja sen monikerrat täyteen neljännesellipsiin asti taulukkoon.
x1= 0 A1 = 0 S1 = 0
x2 = 1,267861384855 A2 = 3*Pii/16 S2 = 1,48785
x3 = 1,545509726123 A3 = 6*Pii/16 S3 = 1,98873
x4 = 1,714879665711 A4 = 9*Pii/16 S4 = 2,38715
x5 = 1,829542035146 A5 = 12*Pii/16 S5 = 2,73836
x6 = 1,908479163140 A6 = 15*Pii/16 S6 = 3,06299
x7 = 1,960547747729 A7 = 18*Pii/16 S7 = 3,37168
x8 = 1,990307039678 A8 = 21*Pii/16 S8 = 3,67115
x9 = 2 A9 = 24*Pii/16 S9 = 3,9663599
Seuraavaksi laskin kaarenpituudet kyseisellä x-arvoilla taulukon jatkoksi. Lopuksi laskin simpsonin integraalilla tuloksen taulukon 9 mittapisteen avulla:
Tulos = (S1 4*(S2 S4 S6 S8) 2*(S3 S5 S7) S9) / 24 * A9
Ja aivan lopuksi skaalasin kaikki tulokset uuteen mittakaavaan jotta pinta-ala on haluttu 1. Eli kaikki pituudet (kaarevuussäteet, puoliakselit, x- ja y-arvot) kerroin mittakaavalla, pinta-alat sen neliöllä, ja laskemani tuloksen mittakaavan kuutiolla saadakseni tehtävässä kysytyn tuloksen. Koska kokeilin vain yhtä ellipsin kaarta kyseessä ei siis ole optimoitu tulos. On se kuitenkin parempi kuin ykköstehtävän optimoitu tulos. Se oletettavasti paranee joillain muilla puoliakselien pituuksilla. Ei kuitenkaan ole mitään perusteltua syytä miksi ellipsin neljännes olisi millään puoliakseleilla 2-tehtävän paras mahdollinen tulos.
Ennen skaalausta neljännesellipsin yhtälö on y(x) = 3 - 1,5*neliöjuuri(4-x^2) sen jälkeen mittakaava * y(x).
Sen pinta-ala on ennen skaalausta A(x) = -3*x/4*neliöjuuri(4-x^2) 3*ArcSin(x/2)
Kaarenpituus ennen skaalausta: S(x) = määrätty integraali nollasta x:ään (neliöjuuri( (16 5*x^2) / (16-4*x^2) ) )*dx - tulokseni
tulokseni kirjoitti:
2-tehtävä:
ensimmäinen kokeilemani ellipsi oli seuraava:
puoliakselit 0,921318 ja 1,381977
min ja max kaarevuussäteet 0,614212 ja 2,072965
optimoinnin tulos = 1,20156 - 0,00006
Laskin ensin kaarenpituuden Wolfram alphalla koko neljännesellipsille puoliakseleilla 2 ja 3, ja pinta-alan samalle kohteelle A_max = 1,5*Pii. Sitten laskin millä x ja y arvoilla pinta-ala on neljännesellipsin kahdeksasosa, ja sen monikerrat täyteen neljännesellipsiin asti taulukkoon.
x1= 0 A1 = 0 S1 = 0
x2 = 1,267861384855 A2 = 3*Pii/16 S2 = 1,48785
x3 = 1,545509726123 A3 = 6*Pii/16 S3 = 1,98873
x4 = 1,714879665711 A4 = 9*Pii/16 S4 = 2,38715
x5 = 1,829542035146 A5 = 12*Pii/16 S5 = 2,73836
x6 = 1,908479163140 A6 = 15*Pii/16 S6 = 3,06299
x7 = 1,960547747729 A7 = 18*Pii/16 S7 = 3,37168
x8 = 1,990307039678 A8 = 21*Pii/16 S8 = 3,67115
x9 = 2 A9 = 24*Pii/16 S9 = 3,9663599
Seuraavaksi laskin kaarenpituudet kyseisellä x-arvoilla taulukon jatkoksi. Lopuksi laskin simpsonin integraalilla tuloksen taulukon 9 mittapisteen avulla:
Tulos = (S1 4*(S2 S4 S6 S8) 2*(S3 S5 S7) S9) / 24 * A9
Ja aivan lopuksi skaalasin kaikki tulokset uuteen mittakaavaan jotta pinta-ala on haluttu 1. Eli kaikki pituudet (kaarevuussäteet, puoliakselit, x- ja y-arvot) kerroin mittakaavalla, pinta-alat sen neliöllä, ja laskemani tuloksen mittakaavan kuutiolla saadakseni tehtävässä kysytyn tuloksen. Koska kokeilin vain yhtä ellipsin kaarta kyseessä ei siis ole optimoitu tulos. On se kuitenkin parempi kuin ykköstehtävän optimoitu tulos. Se oletettavasti paranee joillain muilla puoliakselien pituuksilla. Ei kuitenkaan ole mitään perusteltua syytä miksi ellipsin neljännes olisi millään puoliakseleilla 2-tehtävän paras mahdollinen tulos.
Ennen skaalausta neljännesellipsin yhtälö on y(x) = 3 - 1,5*neliöjuuri(4-x^2) sen jälkeen mittakaava * y(x).
Sen pinta-ala on ennen skaalausta A(x) = -3*x/4*neliöjuuri(4-x^2) 3*ArcSin(x/2)
Kaarenpituus ennen skaalausta: S(x) = määrätty integraali nollasta x:ään (neliöjuuri( (16 5*x^2) / (16-4*x^2) ) )*dxTuloksen epätarkkuus on arvioitu aivan liian pieneksi ja siksi tuloskin on liian pieni.
Korjattu versio:
x1= 0 .................................. A1 = 0*Pii/64 S1 = 0
x2 = 0,823178907206 A2 = 3*Pii/64 S2 = 0,878158
x3 = 1,025517157879 A3 = 6*Pii/64 S3 = 1,13539
x4 = 1,162441804245 A4 = 9*Pii/64 S4 = 1,32729
x5 = 1,267861384855 A5 = 12*Pii/64 S5 = 1,48785
x5 = 1,267861384855 A5 = 6*Pii/32 S5 = 1,48785
x6 = 1,426946189078 A6 = 9*Pii/32 S6 = 1,75794
x7 = 1,545509726123 A7 = 12*Pii/32 S7 = 1,98873
x8 = 1,714879665711 A8 = 9*Pii/16 S8 = 2,38715
x9 = 1,829542035146 A9 = 12*Pii/16 S9 = 2,73836
x10 = 1,908479163140 A10 = 15*Pii/16 S10 = 3,06299
x11 = 1,960547747729 A11 = 18*Pii/16 S11 = 3,37168
x12 = 1,990307039678 A12 = 21*Pii/16 S12 = 3,67115
x13 = 2 ................................. A13 = 24*Pii/16 S13 = 3,9663599
Seuraavaksi laskin simpsonin integraaleilla välitulokset taulukon mittapisteiden avulla:
Tulos1 = (S1 4*(S2 S4) 2*(S3) S5) / 12 * (A5-A1) = 0,617540021
Tulos2 = (S5 4*(S6) S7) / 6 * (A7-A5) = 1,031653867
Tulos3 = (S7 4*(S8 S10 S12) 2*(S9 S11) S13) / 18 * (A13-A7) = 10,732530678
ja tulos on noiden summa eli 12,381724566
Ja aivan lopuksi skaalasin kaikki tulokset uuteen mittakaavaan jotta pinta-ala on haluttu 1.
neljännesellipsin pinta-ala = Pii*a*b/4 = 1,5*Pii, kun a=2 ja b=3.
Mittakaava on siis 1/(1,5*Pii)^0,5 = 0,460658865962
Siispä lopullinen tulos on 12,381724566 * 0,460658865962^3 = 1,210373596
Jos epätarkkuus olisi 0,002, ei voida olla edes varmoja onko tämä pienempi tulos kuin kahdesta ympyränkaaresta koostuvalla käyrällä.
Mistä virhe sitten aiheutuu?
Lähinnä siitä että käyrä S(ala) lähtee origosta pystysuoraan ja kaartuu alussa hyvin nopeasti. Silloin sen likimääräistäminen 3-asteen polynomi-funktiolla (jollaiseen simpsonin integraali perustuu) on kovin epätarkkaa, ja origon lähellä kannattaa käyttää tiheämpää jakoa kuin muualla. Siksi olen nyt käyttänytkin kolmea simpsonin integraalia, joissa origon lähellä on mittapisteitä selvästi tiheämmässä ja toisessa päässä käyrää vain sama kuin aikaisemminkin.
Eikö kukaan muu tosiaan kiinnostu kokeilemaan omaa käyräänsä?
Vaikkapa neljännesellipsiä erilaisella puoliakselien suhteella kuin 2:3. Pystysuunnassa on tietysti oltava suurempi puoliakseli, jos haluaa yrittää minimoida kuten tehtävässä edellytettiin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mitä hittoa tapahtuu nuorille miehillemme?
Mikä on saanut heidän päänsä sekaisin ja kadottamaan järjellisyytensä normaalista elämästä ja ryhtymään hörhöiksi? https3534006En sitten aio sinua odotella
Olen ollut omasta halustani yksin, mutta jossain vaiheessa aion etsiä seuraa. Tämä on aivan naurettavaa pelleilyä. Jos e831749- 431520
Martina jättää triathlonin: "Aika kääntää sivua"
Martina kirjoittaa vapaasti natiivienkusta suomeen käännetyssä tunteikkaassa tekstissä Instassaan. Martina kertoo olevan611497En vain ole riittävä
Muutenhan haluaisit minut oikeasti ja tekisit jotain sen eteen. Joo, ja kun et varmaan halua edes leikisti. Kaikki on o281328Oon pahoillani että
Tapasit näin hyödyttömän, arvottoman, ruman ja tylsän ihmisen niinku minä :(581305Kuka sinä oikeen olet
Joka kirjoittelet usein minun kanssa täällä? Olen tunnistanut samaksi kirjoittajaksi sinut. Miksi et anna mitään vinkkej511302Persut vajosivat pinnan alle
Sosiaali- ja terveysministeri Kaisa Juuson (ps) tietämättömyys hallinnonalansa leikkauksista on pöyristyttänyt Suomen ka1991268Hei, vain sinä voit tehdä sen.
Only you, can make this world seem right Only you, can make the darkness bright Only you and you alone Can make a change61190- 261177