Miten ratkaisen seuraavan tehtävän?
Mitkä paraabelin y=x^2 pisteet ovat etäisyydellä 1 suorasta 3x-4y-4=0? auttaakaaa
Mitkä paraabelin y=x^2 pisteet ovat etäisyydellä 1 suorasta 3x-4y-4=0? auttaakaaa
auttakaaaa paraabelin ja suoran kanssa
Anonyymi
8150
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Ajattele ensin mitkä ne on ne pisteet, sellaiset pisteet jotka on 1:n etäisyydellä suorasta. (Vinkki: melkein suoria itsekin, eikä vaan ihan melkeinkään)
Tai sitten vaan kirjoitat koko höskän yhtälöksi, mutta siitä voi tulla vähän hankalahko.
Jos paraabelin piste on p, p^2 niin käyttämällä tunnettua pisteen etäisyys suorasta kaavaa, laskun pitäisi helposti onnistua. Ei niitä tosin pitäisi olla kuin yksi piste.....
Kaksi niitä silti tulee: (1,1) ja (-1/4, 1/16)
Laitetaan nyt paperille, ja tämä perustuu tuohon ylläolevaan Minkkilaukun vihjeeseen:
https://aijaa.com/SSc0ss
Tuon kohtisuoran siirtymän saa muuten helposti, kun kiertää suoran (normeerattua) suuntavektoria 90 astetta eli kuvaa
(x, y) -> (-y, x)
tai (y, -x) eli vastakkaiseen suuntaan, mutta sitä ikinä muista kummin perin se menee vaan se pitää melkein kuvasta katsoa :D
Yhtä helppo jos ei jopa parempi se on kyllä tuolleen "kuinka paljon suoraa siirretään y-suunnassa" -tavallakin, nyt kun tarkemmin mietin.
Vektorien A ja B sisätulo (skalaaritulo, pistetulo) olkoon (A,B). Meillä on suora
(1) ax by = d1. Kun A = a i b j ja suoran pisteen paikkavektori R = x i y j suoran (1) yhtälö voidaan kirjoittaa (A,R) = d1.
Jos S1 ja S2 ovat suoran (1) kahden pisteen paikkavektorit, on (A,S1) = (A,S2) = d1 joten
(A, S1 - S2) = d1 - d1 = 0. S1 - S2 on suoran suuntainen vektori ja A on siis sitä vastaan kohtisuorassa joten A on suoran (1) normaali. Ykkösnormaali on N = 1/ lAl * A (tai - N).l A l = sqrt(a^2 b^2).
Kaikki suorat (A,R) = d, missä d saa eri arvoja, ovat yhdensuuntaiset, niillähän on sama normaali eli tuo N.
Otetaan nyt suorat (A,R) = d1 ja (2) (A,R) = d2. Olkoon R1 suoran (1) piste ja R2 suoran (2) piste
(paikkavektoreita siis).Vektorin R1 - R2 projektio normaalille N on (R1 - R2,N) N ja tämän pituus on suorien välimatka eli suorien etäisyys on l (R1 - R2,N) l = l (R1,N) - (R2,N) l = l d1 - d2l / sqrt(a^2 b^2) .
Tehtävässä on suora
(3) 3x - 4y = 4
eli A = 3 i - 4 j ja suora (3) on (A,R) = 4. l A l = sqrt(9 16) = 5. Suora
(4) (A,R) = d
on suorasta (3) etäisyydellä 1 silloin kun l d - 4 l / 5 = 1 eli kun d = 9 tai d = - 1.
Nämä ovat suorat R(x) = x i ( 3/4 x - 9/4) j ja R(x) = x i ( 3/4 x 1/4) j
Kun d = 9 niin suora 4 ei leikkaa paraabelia R(x) = x i x^2 j (tämä on se y = x^2 parametrimuodossa).
Jos pannaan x^2 = 3/4 x - 9/4 saadaan yhtälö x^2 - 3/4 x 9/4 = 0 josta x = 3/8 /- 1/2 * sqrt(9/16 - 9) joten reaalijuuria ei ole.
Kun d = - 1 saadaan yhtälö x^2 - 3/4 x - 1/4 = 0 josta x = 3/8 /- 1/2 * sqrt(9/16 1) = 3/8 /- 5/8
= - 1/4 tai 1. Paraabelin pisteet ovat siis (- 1/4, 1/16) tai (1,1) kuten täällä on jo moneen kertaan laskettu.
Esityksestä tuli pitkähkö koska halusin esittää laskutavan perusteista lähtien. Ilman noita selityksiä lasku olisi lyhyt.
Ohman
Oli kummallista että vaikka olin kirjautunut sisään ja nimimerkkini näkyi tuolla yläreunassa niin yrittäessäni lähettää kone ilmoitti, että "et ole kirjoittautunut sisään". Eivät taida nämä systeemit oikein toimia!
Ohman