Bakteerien jakautuminen?

Moro,

Voisko joku kertoo, miten tää lasku oikein lasketaan?

"Bakteeri jakautuu (eli tuplautuu) kerran tunnissa. Kuinka pitkän ajan kuluttua bakteereja on miljoona kappaletta?"

Matematiikan kirjaa en ota käteen, kun sellaista ei löydy.
Ilmoita


Lopussa bakteereita on miljoona. Alussa niitä on yksi. Kokeile montako kertaa joudut jakamaan miljoonan kakkosella ennenkuin jäljellä on noin yksi. Tai kokeile kuinka monta kertaa joudut kertomaan ykkösen kahdella ennenkuin sinulla on miljoona.

0 tuntia = 1 bakteeri
1 tunti = 2 bakteeria
2 tuntia = 2 * 2 = 4 bakteeria
3 tuntia = 2 * 2 * 2 = 8 bakteeria
4 tuntia = 2^4 = 16 bakteeria
jne.

Mihin potenssiin pitää kakkonen korottaa jotta saat tulokseksi miljoonan? Yllättäen se on melkein tasaluku. Sen voi laskea logaritmien avulla tai sitten ihan suoraan kokeilemalla kuten edellä.
Ilmoita
Jos laskee "biologisia" laskuja, niin aina pitää ennen vastausta hiukan pohdiskella mitä tuli laskettua. Määrät kasvavat helposti niin suuriksi, etteivät ne mahdu mihinkkään rajattuun tilaan, saatavilla oleva vesi ja ravinto loppuu, elinikä on lyhyt, jne...
1 VASTAUS:
Toki. Rajoituksia tulee erityisesti kiinteässä aineessa, jossa bakteerit joutuvat kasvamaan pesäkkeinä. Jos bakteerit lisääntyvät esimerkiksi nesteessä niin miljoona bakteeria ei vielä ole mitään. Litrassa juomavettä ei saisi olla enempää kuin luokkaa alle tuhat kolibakteeria eli kuutiometrissä uimarannan vettä voi helposti olla tuo miljoona bakteeria.

Vuonna 2016 arvioitiin että 70 kg painoisen ihmisen kehossa on kaikkiaan luokkaa 3.8E13 (eli 38 tuhatta miljardia bakteeria eli 38000000000000 kpl), joiden yhteismassa on noin 0.2 kg. Suurin osa tuosta bakteerimäärästä tietenkin ruoansulatuskanavassa mutta osa iholla.

www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4991899/

Ihmisen kehossa on ihmisen omia soluja noin 3.5E13 eli lukumääräisesti vähemmän kuin bakteereja).
+Lisää kommentti
Matikan oppikirjaa ei todellakaan kannata ottaa käteen. Niissä on yleensä ziljoonia bakteereja.
Ilmoita
Laskua voisi vaikeuttaa olettamalla bakteerien eliniäksi 4 tuntia.
2 VASTAUSTA:
Mitä tarkoittaisi bakteerin elinikä kun jokainen bakteeri on kuitenkin tuntia aiemmin ollut toisen bakteerin osana? Kun bakteeri jakautuu niin se jakautuu kahtia kahdeksi samanlaiseksi uudeksi osaksi eikä siinä jää jäljelle mitään emäbakteeria joka sitten myöhemmin kuolisi.

Jos kuitenkin oletettaisiin että toinen jakautuneen bakteerin osista olisi se "vanha" osa ja kuolisi 4 tunnin kuluttua niin tuossa ajassa jokainen bakteeri tuottaisi 16 jälkeläistä joista yksi kuolisi. Lopputuloksen kannalta tuo tarkoittaisi sitä, että neljännen jakautumisen kohdalla ja siitä eteenpäin jokaisessa jakautumisessa bakteerien määrä kasvaisi ei kaksinkertaiseksi vaan tekijällä 15^0.25 eli 1.968 - kertaiseksi.

Tuosta voi helposti laskea kuinka paljon eroa olisi lopputuloksessa miljoonan bakteerin kohdalla.
Anonyymi kirjoitti:
Mitä tarkoittaisi bakteerin elinikä kun jokainen bakteeri on kuitenkin tuntia aiemmin ollut toisen bakteerin osana? Kun bakteeri jakautuu niin se jakautuu kahtia kahdeksi samanlaiseksi uudeksi osaksi eikä siinä jää jäljelle mitään emäbakteeria joka sitten myöhemmin kuolisi.

Jos kuitenkin oletettaisiin että toinen jakautuneen bakteerin osista olisi se "vanha" osa ja kuolisi 4 tunnin kuluttua niin tuossa ajassa jokainen bakteeri tuottaisi 16 jälkeläistä joista yksi kuolisi. Lopputuloksen kannalta tuo tarkoittaisi sitä, että neljännen jakautumisen kohdalla ja siitä eteenpäin jokaisessa jakautumisessa bakteerien määrä kasvaisi ei kaksinkertaiseksi vaan tekijällä 15^0.25 eli 1.968 - kertaiseksi.

Tuosta voi helposti laskea kuinka paljon eroa olisi lopputuloksessa miljoonan bakteerin kohdalla.
no paljonko on?
+Lisää kommentti
2^x = 10^6
x*lg2 = 6
x = 6/lg2 = 19,93
Siis noin 20 tunnin jälkeen.
Ilmoita
Terse tosiaan,

Huomasin tämmöisen keskustelun, jonka joku oli jo luonut!
Joten pistän minun ongelmani tähän, vaikka sinänsä ei koske bakteereja (mutta tavallaan joo).

"Radioaktiivisen jodin -isotoopin puoliintumisaika on 8 vuorokautta. Kuinka pitkän ajan kuluttua ainetta on jäljellä enää 5 %? (tässä ei tosiaan mainita määrää)"

Ja tää toinen on samankaltainen:

"Fission tuloksena syntyvän Cesium-137:n puoliintumisaika on 30 vuotta.
a) Kuinka monta prosenttia aineesta hajoaa vuodessa?
b) Kuinka monta kilogrammaa 7,0 kg:sta Cesium-137:aa on jäljellä 77 vuoden kuluttua?"

Voisko joku ystävällisesti ilman sen kummempaa vinoilua kertoa, millä tapaa noi lasketaan?
1 VASTAUS:
2^(-x/8) = 0,05
Toinen lasku vastaavalla tavalla. Siinä vain ei tunneta oikealla puolella olevaa termiä kun taas hajoamisaika tunnetaan.
+Lisää kommentti
Aineen määrä hetkellä t olkoon m(t).

d m(t) / dt = k m(t). Määrän muuttumisnopeus on joka hetki verrannollinen sen hetkiseen ainemäärään kertoimella k (vakio).

m'(t)/ m(t) = k. d(ln(m(t)) / dt = k. ln(m(t)) = k t + c. m(t) = e^(kt)*e^c. Hetkellä t = 0 on
m(0) = e^c . Koska nyt on kyse aineen vähenemisestä kirjoitetaan k:n tilalle - k (k > 0).
Kaikkiaan saadaan
m(t) = m(0) e^(- k t)
m(8) = m(0)/2 = m(0) e^( - k 8) joten e^(8 k) = 2 ja siis k = ln(2) / 8

Tarkastus: m(8) = m(0) * e^(- ln(2)) = 1/2 m(0) kuten pitääkin.

5% on jäljellä:
m(t) = m(0) e^( - (ln(2)/8 * t) = 0,05 m(0)
e^(- ln(2)/8 * t) = 0,05. - ln(2)/8 * t = ln(0,05). t = 8 ln(0,05) / ln(0,5) = 34,5754...
Tark. m(34,58) = m(0) e^(- ln(2)/8 * 34,58) = 0,05 m(0)
Aika oli siis vuorokausina.
Cesium:aika nyt vuosina.
Nyt k = ln(2) /30
(m(t+1) - m(t))/m(t) = m(0) (e^(-k(t+1) - e^(-kt))/(m(0) e^(-kt)) = e^(-k) - 1 =
e^(-ln(2)/30) - 1 = - 0,02284. Vuodessa häviää siis noin 2.3 %

m(77) = 7,0 e^(- ln(2)/30*77) = 1,181556.. = noin 1,2 (kg).
1 VASTAUS:
Lisään vielä tämän: Olkoon puoliintumisaika t = T. Tällöin

m(T) = 1/2 m(0) = m(0) * e^(- kT) ja siis 1/2 = e^(-kT) ja ln(2) = kT joten k = ln(2)/T.
Tämähän näkyy jo noissa edellisissä laskuissani.

Siis m(t) = m(0) e^(- ln(2)*(t/T)) = m(0) (e^(ln(1/2)))^(t/T) = m(0) (1/2)^(t/T).

Siis esim. tuo lasku missä T = 8 ja m(t) = 0,05 m(0):

0,05 = (1/2)^(t/8) joten ln(0,05) = t/8 * ln(0,5) eli t = 8* ln(0,05) / ln(0,5) eli sama tulos minkä sain yllä.Ja tämän laskutavan esitti tuo toinen anonyymi tuolla aiemmin. Tosin vähän lakonisesti
+Lisää kommentti

Vastaa alkuperäiseen viestiin

Bakteerien jakautuminen?

Moro,

Voisko joku kertoo, miten tää lasku oikein lasketaan?

"Bakteeri jakautuu (eli tuplautuu) kerran tunnissa. Kuinka pitkän ajan kuluttua bakteereja on miljoona kappaletta?"

Matematiikan kirjaa en ota käteen, kun sellaista ei löydy.

5000 merkkiä jäljellä

Rekisteröidy, jos haluat käyttää nimimerkkiä.

Peruuta