Hei, katsoin tämän tehtävän malliratkaisua, enkä ymmärrä sitä. Saan eri tuloksen.
K91/9
Funktio f on määritelty välillä ]-1, 1[, ja derivaatta f' on olemassa pisteessä x=0 (mutta ei välttämättä muualla). Määritä
lim x->0 ((f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)).
Malliratkaisussa vastaus on 2*f'(0).
Itse olisin ratkaissut näin:
Kun x->0, myös x^2 -> 0 ja -x^2 -> 0.
Näin ollen lim x->0 f(x) = lim x->0 f(x^2) = lim x->0 f(-x^2).
lim x->0 (f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0)-(f(-x^2)-f(0)))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
= f'(0) - f'(0)
= 0
K91/9
Funktio f on määritelty välillä ]-1, 1[, ja derivaatta f' on olemassa pisteessä x=0 (mutta ei välttämättä muualla). Määritä
lim x->0 ((f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)).
Malliratkaisussa vastaus on 2*f'(0).
Itse olisin ratkaissut näin:
Kun x->0, myös x^2 -> 0 ja -x^2 -> 0.
Näin ollen lim x->0 f(x) = lim x->0 f(x^2) = lim x->0 f(-x^2).
lim x->0 (f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0)-(f(-x^2)-f(0)))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
= f'(0) - f'(0)
= 0
Vastaukset 24
Vanhimmat
Määritelmä: f'(0) = lim (h -> 0) (f(0 h) - f(0)) / h. Jos h >0 mutta sen tilalle pannaan - h, saadaan f'(0) = lim(h -> 0) (f(0 - h) - f(0)) / (- h)
Tässä olet korvannut h:n suureella x^2 joka -> 0.
lim (x -> 0) (f(x^2) - f(- x^2))/x^2 = lim (x-> 0 ) ( (f(x^2) - f(0)) /x^2 - (f(- x^2) - f(0))/x^2)=
lim(x-> 0)( (f(x^2) - f(0)) / x^2 (f(-x^2) - f(0)) / (- x^2)) = 2 f'(0).
Miten voit vähentää osoittajassa kaksi kertaa f(0)? Eihän osoittajan lauseke ole silloin enää yhtäpitävä aiempien kohtien kanssa?
Luehan tarkemmin. f(0) häviää siitä, esiintyy sekä että - merkkisenä.
Mikä siis omassa ratkaisussani on väärin?
lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2) || lim x->0 (f(-x^2)) = lim x->0 (f(x^2))
=lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)
= f'(0) - f'(0)
= 0
Et näy viitsivän lukea esitystäni tarkasti. En dselitä enempää kun et näköjään vaivaudu. Jo 1. lauseeni selostaa miten edetä.
Ymmärsin kyllä ratkaisusi, mutta en ymmärrä, mikä omassani menee väärin eli miksei ratkaisullani päästä samaan tulokseen.
Selostanpa vielä, miten olin ajatellut.
Kun x->0, myös x^2 -> 0 ja -x^2 -> 0.
Näin ollen lim x->0 f(x) = lim x->0 f(x^2) = lim x->0 f(-x^2).
lim x->0 (f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0)-(f(-x^2)-f(0)))/(x^2)
= lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
Tässä kohtaa huomataan, että
=f'(0) - lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
Seuraavaksi raja-arvon laskusääntöjen perusteella, koska otetaan raja-arvo osamäärästä, voidaan kirjoittaa, että otetaan osoittajasta ja nimittäjästä erikseen raja-arvo. Osoittajan termeistä voidaan ottaa molemmista erikseen raja-arvo, otetaan negatiivinen kerroin raja-arvomerkin eteen.
=f'(0) - (lim x-> 0 [f(-x^2)]-lim x->0 [f(0)])/(lim x->0 x^2)
Kuten aiemmin todettiin, lim x->0 f(x) = lim x->0 f(x^2) = lim x->0 f(-x^2). Siispä
=f'(0) - (lim x-> 0 [f(x^2)]-lim x->0[f(0)])/(lim x->0 x^2)
Rallatellaan takaisin siihen muotoon, jossa raja-arvon merkintä on osamäärän edessä.
=f'(0) - lim x->0 [(f(x^2)-f(0))/(x^2)]
=f'(0) - f'(0)
=0
Käytänkö näitä raja-arvon laskusääntöjä jotenkin väärin vai?
Sinulla on jälkimmäisessä osassa h:n paikalla -x^2, joten se pitää olla myös nimittäjässä.
Yhtälöketjusi kolmas askel siis menee vikaan, sillä lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2) ei ole f'(0) vaan itse asiassa -f'(0).
Korjattuna (jätän limekset pois sotkemasta):
(f(x^2)-f(-x^2))/(x^2)
= (f(x^2)-f(0)-(f(-x^2)-f(0)))/(x^2)
= (f(x^2)-f(0))/(x^2)) - (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
[tässä kohdin, jälkimmäisen nimittäjään pitää saada miinusmerkki. Se voidaan ottaa siitä edestä ja muuttaa plussaksi]
= (f(x^2)-f(0))/(x^2)) (f(-x^2)-f(0))/(-x^2)
--> f'(0) f'(0)
= 2f'(0)
Mutta enkö voi raja-arvon laskusääntöjen perusteella edetä seuraavasti:
lim x->0 (f(-x^2)-f(0))/(x^2)
=lim x->0[ f(-x^2)]-lim x->0 [f(0)]/lim x->0 [x^2]
Ja nyt, koska lim x-> 0 [f(-x^2)]=lim x-> 0 [f(x^2)], niin
=lim x->0[ f(x^2)]-lim x->0 [f(0)]/lim x->0 [x^2]
=lim x->0 (f(x^2)-f(0))/(x^2)
=f'(0)
Noin ei voi kirjoittaa, sillä (oletettavasi unohdit myös sulut):
(lim x->0[ f(-x^2)]-lim x->0 [f(0)] )/lim x->0 [x^2]
= (f(0)-f(0)) / 0
= 0/0, joka ei ole määritelty.
Lause, jota voit käyttää on, että (oikeissa pisteissä) jatkuville funktioille g ja r
lim x->0 g(r(x)) = g(r(0)).
Tai g:n ei tarvitse olla jatkuva, mutta raja-arvon oltava pisteessä r(0) olemassa.
Todistus: Olkoon e>0.
Halutaan löytää d, siten että |g(r(x)) - g(r(0))| < e, kun |x-0| < d.
Koska g:llä on raja-arvo pisteessä r(0) olemassa, saadaan yo. ey voimaan, kunhan |r(x) - r(0)| on tarpeeksi pientä. Tämä taas saadaan tarpeeksi pieneksi r:n jatkuvuuden nojalla.
Sinulla g on erotusosamäärä h:n funktiona
g(h) = (f(h)-f(0))/h
ja r on sitten se mitä h:n paikalle laitetaan, eli esim. jälkimmäisessä kohdassa r(x) = -x^2.
Okei, kiitos paljon! Nuo raja-arvon laskusäännöt eivät olleet mulle kovin selviä...
g(a)=0 ja lim x-> a [f(x)/g(x)], niin voiko sitten kirjoittaa näin:
(lim x-> a [f(x)])*(lim x-> a [1/g(x)])
Osamäärässä raja-arvon voi viedä noin, jos sekä osoittajalla että nimittäjällä on (äärellinen) raja-arvo olemassa ja nimittäjän raja-arvo ei ole nolla.
Sen se siis vaatii, että noin voi tehdä. Huomaa, vaikka olisi g(a)=0, niin raja-arvo lim x-> a [1/g(x)] voi silti olla (äärellisenä) olemassa, mutta silloin g ei voi olla kylläkään jatkuva.
Ja periaatteessa voidaan myös sanoa, että raja-arvo on ääretön, jos osoittajalla on äärellinen raja-arvo (tai riittää että osoittaja pysyy rajoitettuna) ja nimittäjä menee nollaan. Mutta ne on nuo "0/0" -tilanteet (jollainen erotusosamääräkin aina on), joissa ei pystytä sanomaan mitään. Niissä voi käyttää l'Hospitalin sääntöä, joka olisikin toinen tapa ratkaista tämä tehtävä:
Koska tämä on 0/0-tilanne ja tiedetään, että f:llä on derivaatta nollassa olemassa, joten osoittaja on derivoituva (niinkuin tietysti nimittäjäkin), niin voidaan käyttää l'Hospitalin sääntöä ja derivoida osoittaja ja nimittäjä ja saadaan sama raja-arvo. Siis:
lim x->0 [ ( f(x^2) - f(-x^2) ) / x^2 ]
= lim x->0 [ ( 2xf'(x^2) - (-2x)f'(-x^2) ) / 2x ]
= lim x->0 [ ( f'(x^2) f'(-x^2) ) / 1 ]
= 2f'(0)
Huomaa miten tässäkin sisäfunktiosta tulee se miinus tuossa jälkimmäisessä termissä.
Ai, niin tämä kyllä vaatisi, että f' on jatkuva, jota ei taidettu tietää. Ja siis, että se on jollain nollan sisältävällä välillä myös olemassa. Mutta niillä oletuksilla, noin voi tehdä ja se antanee vähän myös osviittaa tehtävään.
"jos osoittajalla on äärellinen raja-arvo (tai riittää että osoittaja pysyy rajoitettuna) ja nimittäjä menee nollaan"
Nyt sanoin väärin! Kuvittelin mielessäni sitä, että raja-arvo on nolla, joka tapahtuisi tuossa, jos nimittäjä menisi äärettömään tai -äärettömään.
Jos nimittäjä menee nollaan ja osoittaja ei mene nollaan vaan johonkin muuhun lukuun tai vaikka äärettömään tai -äärettömään, niin raja-arvo on /- ääretön riippuen siitä miten miinusmerkit nyt kumoutuvatkaan. Ja riittäisi että osoittaja pysyy rajoitettuna pois nollasta. Mutta silloinkin se ei saa heilahdella negatiivisen ja positiivisen välillä, jotta raja-arvo olisi olemassa eikä vaihtelisi ääretön, -ääretön,...
PS. tämähän korjaantuisi ottamallakin vain yhden äärettömyyspisteen eli asettamalla ääretön = -ääretön ja kääntämällä reaalisuoran periaatteessa ympyräksi :D. Tämä on nimeltään avaruuden yhden pisteen kompaktifikaatio.
Jo on löpinää!
Aika hyvä pähkinä.
Juju tässä tehtävässä on muotoilla lauseke x:n suhteen derivaattaa vastaavaan muotoon. Tuosta ei voida suoraan päätellä derivaattaa koska nimittäjässä on x^2.
Sen sijaan raja-arvon laskusääntöjä ja oletuksia käyttämällä voidaan päätellä, että lim x^2 =0, kun x->0. Tätä tietoa hyödyntämällä päästään muotoon (f(x^2)-0))/x^2, kun x->0. Kerrotaan lauseke x:llä päästäksemme eroon nimittäjän x^2:sta ja päästään muotoon 1/x * (f(x^2)-0))/x. Lisäksi identtisesti pätee (f(x^2)-0))/x-0.
Nyt lauseke vastaa derivaatan määritelmän muotoa, ja yhdistetyn funktion derivointisäännön perusteella derivaatta on 1/x * 2xf'(x^2), eli 2f'(x^2). Ja koska x^2->0, kun x->0, ratkaisu on 2f'(0).
Siis f(x^2)-f(0)) tuossa keskimmäisessä kappaleessa.
Täyttä höpötystä. Derivaatan määritelmään voidaan tässä kyllä kirjoittaa h = x^2. Eihän derivaattaa lasketa pisteessä x vaan pisteessä 0.Kun x -> 0 niin x^2 -> 0 aivan kuten h -> 0.
PS. Tehtävässä ei edes oletettu että funktiolla olisi derivaatta muualla kuin pisteessä x = 0.
Derivaatan määritelmässä f'(0) = lim(h -> 0) ( (f(0 h) - f(0))/h) pitää osoittajassa ja nimittäjässä tietysti olla sama h. Jos h > 0 niin
lim (h -> 0) ((f(0-h) - f(0)) / h) ei ole f'(0) vaan se on
lim(h-> 0) (- ( (f(0-h) - f(0)) / (- h))) = - lim(h-> 0) ((f(0-h) - f(0))/(-h)) = - f'(0).
Jos käsitteet oikean ja vasemmanpuoleinen derivaatta ovat sinulle tuttuja voit myös ajatella niitä.
Pitkä matikka on turhake jota ei tartte real lifessa missään. Perustuu liikaa fantasia teorioihin. Realistikko matikka kiinnostaa enemmän. pitkässä matikassa tulisi kaikki tehtävät olla malliratkaistuina miksi tehdä fantasia laskuista vaikeita kun ne voi helposti tehä mallin mukaan ja oppia enemmän nopeammin.
En minäkään ole tarvinnut pitkää matikkaa vielä koskaan, mutta on sitä silti kiva osata. Se antaa älyllistä työtä ja tyydytystä. Varsinkin derivointi ja integrointi. Johdin jopa itse laskukaavan käyrän kaaren pituudelle tietyllä välillä, kun käyrän yhtälö tunnetaan. Todistin myös, että parabolinen peili heijastaa akselin suuntaiset tulevat säteet paraabelin polttopisteeseen. Toi miltei paremman olon kuin orgasmi.
Oisko yksinkertaisinta merkata y=x^2 ja z=-x^2. Silloin saadaan helposti f:n derivaatta nollassa sekä y että z avulla lausuttuna ja välissä on plussa.
"Oisko yksinkertaisinta" ollut huomata että tämän tehtävän selostus on jo esitetty useampaan kertaan? Mitähän uutta tuo kommenttisi tuo asiaan?
No se yksinkertaisuus piilee siinä, että saadaan lausekkeet, jotka ovat samat kuin derivaatan määritelmässä (muotoa (f(y)-f(0))/(y-0), eikä jotain muotoa f(x^2) olevia). Ratkaisuperiaate on sama kuin edellä, kyse on vain sen hahmottamista yksinkertaistavista merkinnöistä.
Tehtävä on lukiolaisille ja siksi on hyvä, jos ratkaisu esitetään lukion oppikirjoissa esitettyjä formalismeja käyttäen ja mahdollisimman havainnollisesti.
Mutta jos palstasensori ei tajua tätä, niin ei voi mitään.