f(x)=0, jos x on erisuuri kuin 0, ja f(x)=1, jos x=0.
g(x)=sin(1/x), jos x on erisuuri kuin 0, ja g(x)=0, jos x=0.
h(x)=x*g(x)
f-kohta:
Onko raja-arvo lim x->0 f(h(x)) olemassa? Määritä se myönteisessä tapauksessa.
---
Malliratkaisun mukaan raja-arvoa ei olisi, mutta ratkaisuni ja laskimen mukaan on.
f(h(x))=0, jos h(x) on erisuuri kuin 0, ja f(h(x))=1, jos h(x)=0
Aiemmissa kohdissa ratkaistiin g(x):n nollakohdat, joten h(x)=0, kun x=0 tai x=1/(n*pii), jossa n on jokin kokonaisluku, erisuuri kuin nolla.
Näin ollen:
f(h(x))=0, jos x on erisuuri kuin 0 tai erisuuri kuin 1/(n*pii), ja f(h(x))=1, jos x=0 tai x=1/(n*pii).
Koska f(h(x)) saa vain yksittäisissä kohdissa arvon 1, ja nollan läheisyydessä arvon nolla, ajattelisin, että lim x-> 0 f(h(x)) = 0.
Piirsin kuvan, ja senkin mukaan näyttäisi, että raja-arvo on nolla. Myös GeoGebran laskin näyttää samaa.
g(x)=sin(1/x), jos x on erisuuri kuin 0, ja g(x)=0, jos x=0.
h(x)=x*g(x)
f-kohta:
Onko raja-arvo lim x->0 f(h(x)) olemassa? Määritä se myönteisessä tapauksessa.
---
Malliratkaisun mukaan raja-arvoa ei olisi, mutta ratkaisuni ja laskimen mukaan on.
f(h(x))=0, jos h(x) on erisuuri kuin 0, ja f(h(x))=1, jos h(x)=0
Aiemmissa kohdissa ratkaistiin g(x):n nollakohdat, joten h(x)=0, kun x=0 tai x=1/(n*pii), jossa n on jokin kokonaisluku, erisuuri kuin nolla.
Näin ollen:
f(h(x))=0, jos x on erisuuri kuin 0 tai erisuuri kuin 1/(n*pii), ja f(h(x))=1, jos x=0 tai x=1/(n*pii).
Koska f(h(x)) saa vain yksittäisissä kohdissa arvon 1, ja nollan läheisyydessä arvon nolla, ajattelisin, että lim x-> 0 f(h(x)) = 0.
Piirsin kuvan, ja senkin mukaan näyttäisi, että raja-arvo on nolla. Myös GeoGebran laskin näyttää samaa.
Vastaukset 1
Vanhimmat
h(0)=0*g(0)=0, joten f(h(0))=1
Ratkaisu perustuu siihen, että vaikka valitset kuinka pienen arvon x=x1, löytyy arvo x=x2=1/(n*pii)<x1; f(h(x2))=0. Siksi f(h(x)) ei omaa raja-arvoa kohdassa 0.