Törmäsin seuraavaan probleemaan;
jos meillä on funktio f(x,y) R^2->R
ja oletetaan nyt osittaisderivaattojen olemassaolo.
Nyt tuon funktion graafihan on R^3:ssa. Gradientti ilmaisee siis voimakkaimman kasvamisen/vähenemisen suunnan.
Nyt kun haluaisin piirtää gradientin R^3:n, niin pitäisi tietää mikä on z-koordinaatti, sillä gradienttihan tässä tapauksessa antaa vain vektorin ( D1f(x,y) , D2f(x,y) ), jolla toki saan suunnan xy-tasossa, mutta tarvitsen R^3:n vektorin
jotta voin piirtää sen R^3:ssa. Eli haluan siis ilmaista kasvamissuunnan R^3:ssa.
Voi olla että minulla on tullut joku oikosulku tässä, mutta eipä tunnu aukenevan millään.
jos meillä on funktio f(x,y) R^2->R
ja oletetaan nyt osittaisderivaattojen olemassaolo.
Nyt tuon funktion graafihan on R^3:ssa. Gradientti ilmaisee siis voimakkaimman kasvamisen/vähenemisen suunnan.
Nyt kun haluaisin piirtää gradientin R^3:n, niin pitäisi tietää mikä on z-koordinaatti, sillä gradienttihan tässä tapauksessa antaa vain vektorin ( D1f(x,y) , D2f(x,y) ), jolla toki saan suunnan xy-tasossa, mutta tarvitsen R^3:n vektorin
jotta voin piirtää sen R^3:ssa. Eli haluan siis ilmaista kasvamissuunnan R^3:ssa.
Voi olla että minulla on tullut joku oikosulku tässä, mutta eipä tunnu aukenevan millään.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Minkälainen funktio on kyseessä, jos saan tiedustella?
...pistä z-koordinaatti nollaksi (?).
Yleensä eikös tilanne hahmotella sillä tavalla, että piirretään R^2:seen tasa-arvo-käyriä ja gradientti-vektori osoittaa kohtisuoraan pois päin tasa-arvokäyrästä.
Eikös tuossa R^3 tilanteessa voi nyt vaan piirtää pisteen (x,y) gradientti-vektori pisteeseen (x,y,f(x,y)) ja pistää z-koordinaatti nollaksi.
Joo, mietin itsekin tuota gradientin piirtoa niin, että laitta z-koordinaatiksi funktion arvon..
Tehtävässä funktio oli 10/(3 x^2 2y^2).
Luulen, että kysymykseni oli huono.Gradientin piirtäminenhän tosiaan on vain R^2:n vektorin piirtämistä tässä tapauksessa, mutta tarkoitin sen suurimman kasvu/vähenemmissuunnan piirtämistä, mikä tietysti muuttaa asian.
Sainkin jo mallivastauksen tämän vähenemissuunnan piirtämiseksi (pisteessä (a,b)), ja se olisi R^3:n vektori
( D1f(a,b) , D2f(a,b) , |gradientti(f)(a,b)|^2 )
Pohdin paljon, että mistä tuo viimeinen eli z-koordinaatti repäistään, ja tulin siihen tulokseen että sen täytyy tulla suunnatusta derivaatasta (ja pistetulon ominaisuudesta).
Jos päättelin oikein, niin asia on mulle täysin selvä. Miltä vaikuttaa ?
Jos otetaan kuvaus
g: R^2 -> R^3, g(x,y) = ( x, y, f(x,y)), jonka kuvajoukko on siis f:n graafi g(R^2) = G_f, niin tämän kuvauksen differentiaali pisteessä (x,y) on matriisimuodossa [[1 0] [0 1] [D1f D2f]] ja nyt kun tätä sovelletaan f:n gradientin suuntaan, niin saadaan vektori:
(D1f(x,y), D2f(x,y), D1f(x,y)^2 D2f(x,y)^2)
,missä z-komponentti juuri on f:n gradientin normin neliö pisteessä (x,y) ||grad(f(x,y))||^2
jeps...
Eli varmuuden vuoksi uudestaan...
Siis jos otetaan kuvaus
g: R^2 -> R^3, g(x,y) = (x, y, f(x,y))
, niin tällehän nyt on g(R^2) = G_f, eli g:n kuvajoukko on f:n graafi.
Nyt matDg(x,y) = [[1 0] [0 1] [D1f(x,y) D2f(x,y)]]
ja ja nyt kun otetaan suuntaisderivaatta grad(f(x,y)):n suuntaan, niin saadaan vektori
(D1f(x,y), D2f(x,y), D1f(x,y)^2 D2f(x,y)^2)
,missä siis tuo z-koordinaatti todellakin on f:n gradientin normin neliö ||grad(f(x,y))||^2 ja itseasiassa kaks ekaa koordinaattia f:n gradientti... jeps...
Ensinnäkin, kiitokset vaivautumisesta.
Minä käytin suunnatun derivaatan laskemiseksi (suuntaan v) kaavaa v*gradientti(f) (* merkitsee tässä pistetuloa), ja nyt tässä tapauksessa v on itse gradientti, jolloin tulee gradientin pistetulo itsensä kanssa, joka on tietysti sen normin neliö.
Mutta hyvä, tämä selvä :-)