Kiperä välipalatehtävä kaikille...

Otsalla näkee että neliön pitäisi olla parittoman luvun neliö. Hieman kun sieventelee, niin olisi oltava n = m 1 ja edelleen sieventämällä saadaan yhtälö x^2 x = 3^n, missä x on positiivinen kok.luku. Tästä nähdään että x^2 x on aina parillinen, mutta se onpi ristiriita jota haettiin.

Mistäs päättelet, että m = n 1 ?!?!!!???? Eipäs tuossa osoituksessasi taida olla järjen hiventä. Uskoisin tämän tehtävän ratkeavan kongruenssilla näin äkkipikaan silmäiltynä.

Olkoon (1) yhtälö 3^m 3^n 1=x^2.

Jos yhtälö on ratkeava, x on pariton. Vasen puoli on kolmen parittoman luvun summa, ja sen täytyy olla pariton. Vain parittoman luvun neliö on pariton. Lisäksi oikea puoli on kongruentti yhden kanssa mod 4 parittoman luvun neliönä.

Tutkitaan (1):tä mod 4. Oletetaan, että sekä m että n ovat parittomia. Silloin kongruenssi 3 3 1=1 mod 4 ei voi toteutua, ja ristiriidan nojalla voidaan yleisesti olettaa, että m on parillinen.

Jos m = 2k, niin 3^m = 3^2k = (3^k)^2 on parittoman luvun neliö.

Saadaan siis

(2) 3^n 1 = x^2-y^2, missä x ja y ovat parittomia.

Kaikki parittomat neliöt ovat kongruentteja yhden kanssa mod 8. Siis (2):n oikea puoli on jaollinen kahdeksalla.

Ongelma ratkeaa, jos voidaan osoittaa, että 3^n 1 ei ole koskaan jaollinen kahdeksalla. Sehän on selvää, mutta kirjotetaan se nyt näkyviin. Kolmen potenssit ovat kongruentteja joko yhden tai kolmen kanssa mod 8. Kumpaankaan lisäämällä yksi ei voida saada nollaa.

Siispä (1) ei ratkea kokonaislukuarvoilla. mottis