Pitkin pisteen A kautta kulkevaa suoraa lentää lentokone nopeudella 0,4 km/s. Suoraan pisteen A alapuolella maanpinnalla on piste B. Miten kauas pisteestä A lentokone on ehtinyt, kun sen aiheuttama jyrinä alkaa kuulua pisteessä B? Äänen nopeus on 1/3 km/s.
Lentokonetehtävä
Anonyymi
35437
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 35
Vanhimmat
Sori! Tuosta unohtui pisteiden A ja B välinen etäisyys, joka on 2 km.
Mitä olet jo yrittänyt tehtävän ratkaisemiseksi?
Mikä jää jumittamaan?
Pelkkä vastausten kerjääminen on noloa
Kuinkas kaukaa ennen A:ta lähtenyt koneen ääni kantaa perille?
Tuosta ehkä selviää periaate
https://www.quora.com/What-is-Mach-Cone-What-importance-does-it-play
Eli kulma saadaa nopeuksien suhteesta. Kulmasta saadaan taas miten kaukana kone on.
Pitäisi trigonometrialla selvitä miksi kulman kaava tulee.
Tässä toinen (sama asia)
https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/machang.html
Paremmat kuvat ja animaation
https://en.wikipedia.org/wiki/Sonic_boom
Ääni saavuttaa pisteen B ajankohtana, jolloin kone ei ole vielä tullut pisteeseen A. Merkitään symbolilla t ajankohtaa, jolloin tämä ääni lähtee niin, että t=0 kun kone on pisteessä A. Merkitään symbolilla T ajankohtaa, jolloin ääni tulee pisteeseen B; T on t lauseke parametreista t, h, v1 ja v2. Derivaatan dT/dt avulla saadaan T:n minimiä vastaava t arvo. Sitten voidaan laskea vastaava T ja sen avulla koneen kulkema matka.
kone lentää ääntä nopeammin (ja matka pisteeseen B on pidempi kuin pisteeseen A). Ääni ei voi saavuttaa pistettä B ennen kuin kone on saavuttanut pisteen A
Ensimmäinen lauseeni oli väärin; olisi pitänyt olla: ääni, joka ensiksi saavuttaa pisteen B, on lähtenyt ajankohtana, jolloin kone ei ole vielä tullut pisteeseen A. Muutoin ok.
Sain minimikohdalle arvon:
t = -v1*h/(v2)^2 * sqrt(1-(v1/v2)^2))
Ja ajankohdalle, jolloin ääni ensiksi kuullaan B:ssä:
T = t sqrt(h^2 (v2t)^2)/v1
Ok!
Pääseeköhän tuolla kaavalla samaan lopputulokseen kuin "Mach cone" kaavalla, jolla pitäisi saada laskettua kulma, jolla ääni laahaa perässä.
Ei tuo vielä mielestäni vieläkään ole ok.
Kone saavuttaa ensin pisteen A, sen jälkeen ääni saavuttaa pisteen B
6 s x 0,4 km/s = 2,4 km
Kilpaileva vastaus:
nopeuksien suhde on (1/3) / 0,4
kulma on 56,44 astetta
Pisteiden A ja B etäisyyden ja koneen A pisteesta kulkeman matkan suhde on
tan 56,44 astetta eli noin 1,5
eli koneen etenemä matka pisteesta A kun ääni saavuttaa pisteen B on 2/1,5 km = 1,25 km
Tuohon muodostuu iso kolmio, jonka hypotenuusa on koneen nopeus ja kulman vastakkainen kateetti on äänen nopeus.
Sen sisällä on pienempi kolmio, jonka toinen kateetti AB ja toinen kateetti on koneen A pisteestä etenemä matka ja kulma on samainen kulma kuin edellä.
Tuossahan on laskuvirhe
kone on edennyt pisteen A ohi 2 km / 1,5074 = 1,327 km
ison kolmion sivut olisivat noin
3,015 1,327 = 4,342 lentomatka
3,61708 äänen matka
kolmion korkeus 2
kulma lentokoneen päässä 56,44 astetta ja äänen lähtöpisteessä 90 - 56,44 astetta
(luvut pyöristetty vähän mistä sattuu)
olisin toivonut tuota 1,72 tulosta ;)
Tuolla ennen annoin omat johtamani kaavat. Niiden mukaan ääni, joka ensiksi saavuttaa pisteen B, lähtee 2,3 s ennen kuin kone saavuttaa pisteen A. Kun ääni saavuttaa pisteen B, on kone sivuuttanut 4,3 s aiemmin pisteen A. Se on siis edennyt 1,72 km pisteestä A.
Tuo 2,4 km ei ole oikea vastaus. Se on laskettu kai olettamalla, että ensiksi pisteen B saavuttaa ääni, joka on lähtenyt koneesta sen ollessa pisteessä A. Silloin äänellä kuluu 6 s matkata maahan ja kone etenee sinä aikana matkan 2,4 km.
Kuitenkin aiemmin koneesta lähtenyt ääni ehtii ensin pisteeseen B. Vaikka sen kulkumatka ja -aika on pitempi ("hypotenuusaa" pitkin), aiempi lähtöajankohta säästää enemmän aikaa.
Myöskään tuo 1,25 km ei ole oikea ratkaisu. Jos olisi, pitäisi koneen tulosuunnassa etäisyydellä x pisteestä A olla kohta, josta ääni etenee pisteeseen B samassa ajassa kuin kone 1,25 km etäisyydelle pisteestä A. Saadaan siis yhtälö:
(x 1,25)/0,4 = sqrt(x^2 4)/0,333
Yhtälölle ei ole ratkaisua.
Jos sen sijaan tuohon 1,25 tilalle sijoitetaan laskemani 1,72 km, saadaan x arvoksi 0,93 km. Silloin koneelta kestää 6,6 s edetä 0,93 1,72 km matka ja ääneltä sama aika edetä hypotenuusan mitta kolmiossa, joiden sivut ovat 0,93 km ja 2 km. Ja tuo ääni tulee pisteesen B 4,3 s sen jälkeen, kun kone on ollut pisteessä A.
Aivan, olisiko periaatteellinen virhe vai laskuvirhe tuossa "Mach cone" laskussa?
Tämä tehtävä oli aikoinaan, kymmeniä vuosia sitten, pitkän matematiikan yo-kirjoituksissa. Olen sen ratkaisun aikoinaan nähnyt, mutten enää kovin hyvin muista sitä. Sen muistan, että siinä pitää osata valita muuttujaksi suure, jonka minimikohta sitten ratkaistaan derivoimalla. Eli pelkällä trigonometrialla se ei ratkea. Ja lentokone on tosiaan ehtinyt pisteen A ohi, kun sen ääni alkaa kuulua B:ssä.
T. Aloittaja
Mutta eihän se välttämättä tarkoita ettei voisi laskea eri talvalla.
Mutta kiitos selvennyksestä mistä tehtävä tuli :)
Se derivoitava funktio voidaan kirjoittaa seuraavasti:
y = x sqrt((v2*x)^2 h^2)/v1
Missä x tarkoittaa ajankohtaa, jona ääni lähtee lentokoneesta. x=0 kun lentokone on kohdassa A ja negatiivinen ennen sitä. y tarkoittaa aikaa, joka kuluu pisteen A ohituksen jälkeen siihen, että ääni kuuluu B:ssä (siis äänen kulkuaika - x itseisarvo). Derivoimalla dy/dx saadaan ajankohta x, joka antaa minimin y:lle.
Mitäs nuo v1, v2 ja h ovat tuossa yhtälössä?
Eikös ne ole äänen nopeus, koneen nopeus ja lentokorkeus
(noepeudet ei välttämättä ollut tässä selostuksessa oikein päin)
v1 äänen nopeus, v2 lentokoneen nopeus.
Okei. Täytyypä tarkistaa tuo ratkaisuehdotus. Saatat olla oikeilla jäljillä.
T. Aloittaja
Eikös tuosta aloituksen laskusta puutu matka pisteestä A pisteeseen B, Eli korkeus maanpinnasta ?
Äänen saavuttaminen B pisteeseen riippuu siitä miten korkealla (tai matalalla) lentokone lentää.
se on lisätty myöhemmässä viestissä
Ok.! en huomannu. luin vain aloituksen..
Tuli mieleen tälläistä:
Niin kauan kuin koneen nopeuskomponentti pistettä B kohti on suurempi kuin äänen nopeus, kone lähestyy nopeammin ja koneen sijaintipaikasta tulee ääni aikaisemmin kuin aikaisemmin muodostunut ääni.
Sitten kun tämä komponentti on yhtäsuuri voidaan katsoa tämä sijainti ensimmäisenä tulleen äänen lähtöpaikaksi.
Eli olisi ratkaista milloin kone lähestyy pistettä B äänen nopeudella (konetta kohden oleva nopeus on äänen nopeus, heti sen jälkeen nopeus on alle äänennopeus)
ja laskettava siitä pisteestä äänellä kuluva aika sekä mihin asti kone tässä ajassa kulkee.
mut menee vaikeaksi,
Otetaan vielä tuo laskelma, kun taisi tulla virhe. Merkataan y on lentokoneen etäisyys A:sta silloin kun ääni kuuluu B:ssä. x on lentokoneen etäisyys tulosuuntaan A:sta silloin kun ääni lähtee lentokoneesta (siis x on positiivinen). Merkataan yhtä suuriksi äänen kulkuaika (matka/äänen nopeus) ja lentokoneen etenemä tuona aikana jaettuna sen nopeudella:
(y x)/0,4 = sqrt(x^2 4)/0,33
y = -x 1,2*sqrt(x^2 4)
Derivoidaan y ja merkataan nollaksi, saadaan:
sqrt(x^2 4) = 1,2*x, mistä
x = sqrt(4/0,44) = 3.015 km
Ja y ratkaisuksi saadaan:
y = 1,327 km
Eli noin kaukana kone on A:sta, kun ääni kuullaan ensi kerran.
Tuo näyttää oikealta ratkaisulta. T. Aloittaja
Eli vastaus on sama kuin trigonometrisella "Mach cone" laskukaavalla.
"
kone on edennyt pisteen A ohi 2 km / 1,5074 = 1,327 km
ison kolmion sivut olisivat noin
3,015 1,327 = 4,342 lentomatka
3,61708 äänen matka
kolmion korkeus 2
kulma lentokoneen päässä 56,44 astetta ja äänen lähtöpisteessä 90 - 56,44 astetta
"
Tuolla on laskettu samanlaisesti
https://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/17-8-shock-waves/
Eli tämäkin laskutapa on oikea.
Mutta tulokset näyttävät tosiaan olevan samat :)
Kone lähestyy pistettä A ja siitä etäisyydellä x. Pisteeseen B on matkaa sqrt(x^2 4).
Ääneltä kuluu tähän matkaan aikaa 3 sqrt(x^2 4) . Tänä aikana kone lentää matkan
1,2 * sqrt(x^2 4). Kone pn ohittanut pisteen A ja on siitä etäisyydellä f(x) =
1,2 * sqrt(x^2 4) - x.
f'(x) = 0 => 1,2*1/2 * (x^2 4) ^( - 1/2) * 2x - 1 = 0 joten 1,2 x = sqrt(x^2 4) ja siis
x = 10/sqrt(11). Tällöin koneen etäisyys pisteestä A on 1,2 * (100/11 4) - 10/sqrt(11) =4,4 / sqrt(11) = 1,327.
Tarkastusta: Äänen matka = 12/sqrt(11). Tähän kuluu aikaa 36/sqrt(11).
Tässä ajassa kone lentää matkan 0,4 * 36/sqrt(11) = 14,4 / sqrt(11).
Koneen etäisyys A:sta on (14,4 - 10) / sqrt(11) = 4,4 / sqrt(11).