x = 569936821221962380720
y = -569936821113563493509
z = -472715493453327032
k = x**3 y**3 z**3
print(k)
Tuon ratkaisun hakualgoritminen kehittäminen on erittäin mielenkiintoista ja opettavaista. Onnistuu ihan lukiomatikalla ja kotikoneella. Kolmonen (k=3) on monella tapaa erikoistapaus. Ainoa vaikeus lukujen valtava koko. Sekä x ja y ovat molemmat 21-numeroisia. Onneksi z on todella pieni noihin verrattuna ja teki ratkaisun mahdolliseksi näinkin nopeasti. Booker julkaissee kohta raportin.
y = -569936821113563493509
z = -472715493453327032
k = x**3 y**3 z**3
print(k)
Tuon ratkaisun hakualgoritminen kehittäminen on erittäin mielenkiintoista ja opettavaista. Onnistuu ihan lukiomatikalla ja kotikoneella. Kolmonen (k=3) on monella tapaa erikoistapaus. Ainoa vaikeus lukujen valtava koko. Sekä x ja y ovat molemmat 21-numeroisia. Onneksi z on todella pieni noihin verrattuna ja teki ratkaisun mahdolliseksi näinkin nopeasti. Booker julkaissee kohta raportin.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Entä sitten?
Saattaa liittyä laajeneviin tihentymiin.
Enpä usko, tuohan on matematiikkaa, mitä laajenevissa tihentymissä ei asiantuntijan mukaan tarvita.
Ja sinä olet se asiantuntija?
Enpä tietenkään, kun en edes usko laajenevien tihentymien olemassa oloon.
Tämä löytö on kymmeniä kertoja merkittävämpi kuin paljon kohua herättäneet 42:n, 33:n ja 74:n ratkaisujen löytymiset yhteensä. Sadat matematiikan eri alojen huippuosaajat ovat pohtineet ongelmaa teoreettiselta kannalta vuosikymmeniä. Jos tuota ongelmaa ei edes viitsi itse yrittää ratkaista, ei tietystikään voi asiasta mitään tajuta. Ihan hyvä näin, sillä tuon pohtiminen on ollut suurimmaksi osaksi suurimmalle osalle matemaatikkojakin ihan turhaa ajan kulua.
Isot luvut ovat isoja ja niiden kuutiot ovat aivan hirvittävän isoja ja niitä on äärimmäisen harvassa siellä jossakin triljoonien valovuosien päässä aivan tuntemattomissa mailmankaikkeuksissa. Muuttamalla isoa lukua yhdellä, sen kuution tilavuus muuttuu 3*isoluku*isoluku:lla. Jos yksikkönä on 1 mm, niin tuo pieninkin mahdollinen tilavuuden muutos on paljon suurempi kuin pieni aurinkokuntamme. Ja tuota verrataan kolmen kuutiomillimetrin kappaleeseen. Täysin toivotonta!
x^3 y^3 z^3 = 3
Oletetaan |x|>|y|>|z|>3 ja ne kaikki ovat positiivisia tai negatiivisia kokonaislukuja.
Oletetaan y:n ja z:n olevan samanmerkkisiä ja eri merkkisiä kuin x.
Todista, ettei |x^3 y^3|, |x^3 z^3| tai |y^3 z^3| voi mitenkään olla jaollinen 7:lla. Pitäisi onnistua ihan päässälaskuna päättelemällä muutamassa minuutissa.
Kuinka suuren osan x:n, y:n ja z:n kombinaatioista edellä mainittu jaottomuusehto karsii pois. Saa käyttää tietokonetta. Sama ehto pätee myös luvuille 3, 13 ja 19 ja monille muillekin muotoa (6*n 1) oleville alkuluvuille. Kuinka suuren osan mahdollista x:n, y:n ja z:n kombinaatiotsa nuo kaikki jaottomuusehdot yhdessä karsivat pois?
x, y ja z eivät voi olla jaollisia 3:lla ja niiden kaikkien modulo 3 on 1. Ja niiden kaikkien modulo 9 on yhtäsuuri. Lähes kaikki vaihtoehdot karsiutuvat pois. Montako prosenttia jää jäljelle?
Ja+kun+vielä+huomioidaan+pariteetti+eli+x+y+z+on+oltava+pariton,+niin+taas+katoaa+puolet+mahdollisuuksista.+
Mitä väliä?
Käytetty algoritmi perustuu d = |x y| arvon kasvattamiseen. Nyt vastaus löytyi jo aivan alkupäästä mitättömän pienellä arvolla d = 108398887211.
Jos |x|:n arvolle on annettu joku maksimi, niin tuota d:n arvoa voidaan vielä kasvattaa n. 0,2*|x|:ksi. On siis täysin mahdollista, että löytyy vielä joku uusi ratkaisu, jossa |x| on paljon nyt löydettyä pienempi. Voi mennä vielä vuosi pari, ennen kuin kaikki d:n arvot on käyty läpi. Bookerin algoritmin hyvyys perustuu osaksi siihen, että tilastollisesti (ja matemaattisesti laskien) suurin osa ratkaisuista keskittyy pienille d:n arvoille ja d:lle suurella vaivalla laskettua juurta voi kasvattaa ihan pelkällä yhteenlaskulla ikuisesti ja päästä nopeasti lähes äärettömän suuriinkin ratkaisuihin. Lisäksi luvun 3 tapauksessa muodostettava neliöjuurilauseke on aina jaollinen 3^5:llä (243) ja d:n ollessa parillinen myös 4:llä. Noiden jakojen jälkeen voidaan jostain ihmeen syystä lähes aina nopeasti ja yksinkeraisesti suoraan todeta, ettei luku voi olla kokonaisluvun neliö. Nopeuttaa etenemistä. Kokeilkaa.
x^3 y^3 z^3 = 3
Pystyykö joku "todistamaan" ohjelmallisesti x ≡ y ≡ z (mod 9). Itseltäni ei nyt millään meinaa onnistua, vaikka kokeilen kolmitasoisilla (x,y,z) silmukoilla erilaisilla modulaarisilla ehdoilla. Ovat aina ennen toimineet kaikkissa muissa ohjelmallisissa todistuksissa aukottomasti. Usein ei tarvitse kokeilla kuin luvuilla 0...18 tai 0...72. Ja sitten varmistus esim. 0...1000. Onnistuu aina hetkessä, kun huomio koko ajan helpot perusehdot.
Tuo matemaattinen yksisivuinen todistus pdf löytyy googlella:
J. W. S. Cassels A Note on the Diophantine Equation x^3 y^3 z^3 = 3
Jos joku tuon ymmärtää, nin käsi pystyyn! Mitä pitäisi huomioida ohjelmallisessa todistuksessa? Tehoa riittää varmasti.
Kyllä tuon ohjelmallinen todentaminen onnistuu ihan riittävän varmasti pienellä Python-ohjelmalla.
Riittää tarkastella x^3 - y^3 - z^3 = 3 yhtälöä (x,y,z) positiivisilla arvoilla. Yhtälön voi muuttaa selkeäpään muotoon:
x^3 - y^3 = z^3 3 ja merkitä xy3 = x^3 - y^3
Riittää poistaa x:n ja y:n arvojen kombinaatioista ne tapaukset, joissa yksikin xy3:n alkutekijöistä p ei ole 3:n "kuutiojuurimodulo". Tuon voi tehdä pienellä suodatuksella xyz-silmukkaketjun y-osassa:
xy3 = x**3 - y**3
pl = primefactors(xy3)
nok = False
for p in pl:
____if p<6: continue
____root = nthroot_mod(3,3,p)
____if root==None: nok = True; break
if nok: continue
Nuo kirjasto-ohjelmat löytyvät Sympy:stä ja niitä voi ajaa Pypy:llä.
Jos z-silmukssa poistaa kaikki ne kombinaatiot, joissa
(x^3 - y^3 - z^3) ≡ 3 (mod 162) ei toteudu, jäljelle jää vain oikeita 9:n moduloita. Eli
x ≡ -y ≡ -z (mod 9). Ei tietysti todista matemaattisen aukottomasti mitään, mutta kaikesta turhasta karsitulla optimoidulla koodilla saa käytyä luvut miljoonaan asti ehkä vuorokaudessa.
Ei tuossa todistuksessa mitään kolmatta silmukkatasoa (z) tarvita. Edellä kuvatulla tavalla x:n ja y:n modulot tulevat aina automaattisesti oikein. Ja sen jälkeen z:n modulo on myös aina oikein. Sen saa modulo 18-säännöllä suoraan taulukosta eikä sitä tarvitse edes laskea.
tml = [0,4,17,0,7,2,0,10,5,0,13,8,0,16,11,0,1,14]
zm18 = tml[(x-y)]
Tuon taulukon voi laskea Bookerin raportin kaavalla tai muodostaa itse. Riittää käydä läpi luvut 0...17 ja tallettaa tulokset listaan ja tuollainen yksikäsitteinen vastavuus löytyy. Sama taulukko käy myös (x-z):lle ja (y z):lle.
Samalla vaivalla saa myös muodostettua Bookerin mainostaman modulo 162-säännön taulukon (k:n arvolle 3):
tzl = [0,4,161,0,61,110,0,10,5,0,13,8,0,70,119,0,19,14,
0,22,17,0,79,128,0,28,23,0,31,26,0,88,137,0,37,32,
0,40,35,0,97,146,0,46,41,0,49,44,0,106,155,0,55,50,
0,58,53,0,115,2,0,64,59,0,67,62,0,124,11,0,73,68,
0,76,71,0,133,20,0,82,77,0,85,80,0,142,29,0,91,86,
0,94,89,0,151,38,0,100,95,0,103,98,0,160,47,0,109,104,
0,112,107,0,7,56,0,118,113,0,121,116,0,16,65,0,127,122,
0,130,125,0,25,74,0,136,131,0,139,134,0,34,83,0,145,140,
0,148,143,0,43,92,0,154,149,0,157,152,0,52,101,0,1,158]
zm162 = tzl[(x-y)2]
Tuokin taulukko toimii kaikissa kolmessa tapauksessa ja muodostuu automaattiseti oikein, jos x ≡ -y ≡ -z (mod 9). Ei tarvitse osata pyöritellä mitään ihmekaavoja.
(-385495523231271884)^3 383344975542639445^3 98422560467622814^3 = 165
x ja y 18-numeroisia.
Vähiin käyvät ennen kuin loppuvat. Ja viimeiseksi löytyvä on ...?
Jos x^3 y^3 z^3 = 3, niin aina
x^3 ≡ y^3 ≡ z^3 ≡ 1 (mod 7)
Ihan käyttökelpoinen ominaisuus.
Alkuperäisen yhtälön ratkaisemiseksi on löydetävä t:lle ( t = |x y|) ja z:lle arvot, joilla yhtälö
N = (4*|z^3-3|/t - t^2)/3
on kokonaisluvun neliö. Helppoa. Kokeilkaa vaikkapa x = -5, y = 4 ja z = 4 ja aloitusviestin isoilla luvuilla. Jos N on saatu neliöksi, niin x ja y ovat (-t sqr(N))/2 ja (-t-sqr(N))/2. (Ja |x-y|^2 = N.)
Jokin tekee noiden neliöiden löytämisen todella vaikeaksi, elle keksi jotain todella älykästä tapaa. Tiedetään varmasti, että tuo N on aina automaattisesti (t:n ja z:n modulo 162 ehdoilla) jaollinen 81:llä. Pakko tietysti olla, jotta x ≡ y ≡ z (mod 9).
Jos t on pariton, N on myös aina pariton ja z on aina parillinen ja (N-1) on aina jaollinen 8:lla. (Näkyy suoraan N:n kaavasta.) N täyttää siis aina automaattisesti yhden parittomien neliöiden päävaatimuksen.
Ei ehkä riedä että
Matematiikan kaavojen rodistaminen täyryt tehdä muuttujilla ky n tilanne sitä vaatii
Jrsjrsjrsjrs