Hei, lukioissa ei opiskella delta-epsilon määritelmää, mutta yritin opetella sitä itse. Voisitteko sanoa, käykö tämä todistus?
Yritän todistaa lim x-> 3 (x^2)=9. Merkinnät D=delta, E=epsilon
|x-3|<D
-D<x-3<D || 3
-D 3<x<D 3 || lisään ehdon 0<D<3, korotan neliöön
(-D 3)^2<x^2<(D 3)^2
D^2-6D 9<x^2<D^2 6D 9 || -9
D^2-6D<x^2-9<D^2 6D
Tutkin erikseen, että välillä 0<D<3 vasemmanpuoleinen lauseke saa arvot ]-9, 0[ ja oikeanpuoleinen arvot ]0, 27[. Siispä
|x^2-9|<D^2 6D=D(D 6)
Nyt valitsen E=D(D 6).
Siis kun pienennän deltaa, niin epsilonin lausekkeen E=D(D 6) molemmat tekjiät pienenevät, joten lim x-> 3 (x^2)=9.
Käykö tämä?
Yritän todistaa lim x-> 3 (x^2)=9. Merkinnät D=delta, E=epsilon
|x-3|<D
-D<x-3<D || 3
-D 3<x<D 3 || lisään ehdon 0<D<3, korotan neliöön
(-D 3)^2<x^2<(D 3)^2
D^2-6D 9<x^2<D^2 6D 9 || -9
D^2-6D<x^2-9<D^2 6D
Tutkin erikseen, että välillä 0<D<3 vasemmanpuoleinen lauseke saa arvot ]-9, 0[ ja oikeanpuoleinen arvot ]0, 27[. Siispä
|x^2-9|<D^2 6D=D(D 6)
Nyt valitsen E=D(D 6).
Siis kun pienennän deltaa, niin epsilonin lausekkeen E=D(D 6) molemmat tekjiät pienenevät, joten lim x-> 3 (x^2)=9.
Käykö tämä?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Lähinn siis se, että olenko ymmärtänyt tämän delta-epsilon-todistuksen oikein?
Ei käy. Olet tuossa kiinnittänyt epsilonin riippumaan deltasta. Epsilon-delta-todistuksessa on olennaista, että ensin valitaan mielivaltainen positiivinen epsilon. Sitten valitaan delta, joka riippuu epsilonista. Usein deltan lauseketta ei tiedetä etukäteen, vaan lasketaan kyseinen lauseke. Sitten kirjoitetaan todistus puhtaaksi, tyyliin
Olkoon epsilon mielivaltainen positiivinen kokonaisluku ja delta = joku epsilonista riippuva lauseke. Tälloin f(x)-a=(siventelyä ja epäyhtälöitä)...<epsilon.
Selvä, kiitos.
Entä olisiko tämä ok? (lim x->4 sqrt(x 5)=3)
|sqrt(x 5)-3|<E
-E<sqrt(x 5)-3<E || 3
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 || lisään ehdon -E 3>=0 eli E<=3, korotan 2. potenssiin
(-E 3)^2<x 5<(E 3)^2
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9 ||-9
E^2-6E<x-4<E^2 6E
|x-4|<E^2 6E=E(E 6)
Valitsen D=E(E 6). Kun E pienenee, niin D pienenee.
Todistus kirjoitetaan puhtaaksi, tarkoittaako se siis vain tätä:
|x-4|<D=E(E 6)=E^2 6E
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9
(E-3)^2<x 5<(E 3)^2 ||neliöjuuri, edelleen ehto 0<E<=3
|E-3|<sqrt(x 5)<|E 3|
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 ||-3
-E<sqrt(x 5)-3<E
|sqrt(x 5)-3|<E
Miksi on väliä, kiinnitänkö deltan epsiloniin vai toisinpäin? Eikö yhtälailla huomata, että kun x:n etäisyys kohdasta x=4 pienenee, y:n etäisyys arvosta y=3 pienenee?
Kirjoitin äsken:
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
Ei siis seuraakaan, mutta onko sillä väliä? Täytyykö todistus kirjoittaa vielä näin päin lähtien kohdasta |x-4|<D ja edeten kohtaan |sqrt(x 5)-3|<E ?
Vielä, tarkoitan siis, riittääkö vain ensimmäinen osa, jossa määritän deltalle lausekkeen, todistukseksi?
Ajattelet asiaa liian monimutkaisesti. Lineaariselle funktiolle tuo todistus on triviaali (D=E). Tuossa wikilinkissä todistetaan että y = x^2 lähestyy ->9 kun x-> 3. Katso siitä mallia.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktion_raja-arvo
Mutta esim. tuo raja-arvon lim x->4 sqrt(x 5)=3 todistus, jossa mulla on epsilon E ja delta D=E(E 6). Vaikka mietin ne jotenkin todella oudosti, käykö tuo edellä tekemäni perusteluksi tälle raja-arvolle? Ja riittääkö perusteluksi vain se, että mulla on epsilon ja johdan lausekkeen deltalle, joka riippuu epsilonista?
Olen kyllä siis yrittänyt ymmärtää tuota wikisivuston todistusta.
Niinpäin, että ensin valitaan e ja sitten muodostetaan sitä käyttäen d lauseke niin, että d -> 0 kun e->0. Tuossa nimenomaisessa esimerkissä, jos on osoitettava että y = x ->3 kun x->3, oletetaan |y-3| = |x-3| < e. Kun valitaan d = e, täyttyy ehto että |y-3| < e silloin kun |x-3| < d.
Aloitat näin
Olkoon mielivaltainen E>0
Sitten valitset omien pyöritystesi perusteella riittävän pienen
D. Eli valitset D=minimi(E/7, 1)
Eli D<=1, D<=E/7
Nyt D^2 6D<=1*D 6D=7D<=7*E/7=E
ja nyt tuolla pyöritteltylläsi
kun |x-3|<D niin
|x^2-9|<D^2 6D=E
eli |x^2-9|<E
Pyörittelysi on oikeaa, mutta aloitat toteamalla E>0 mielivaltaiseksi
(kun se on mielivaltainen niin se kattaa kaikki luvut)
ja valitset D niin että siitä tulee varmasti riittävän pienin ja jotenkin päädyt
algebran jälkeen niin että saat |sdgsdg|<E
Ja usein D valinnassa tahdotaan D olevan riippuvainen paitsi luvusta E niin myös jostain muusta vakiosta esim. alle 3 tai alle 1 tai alle 0,001. Silloin mukaan tulee
tuo min funktio.