Hei, lukioissa ei opiskella delta-epsilon määritelmää, mutta yritin opetella sitä itse. Voisitteko sanoa, käykö tämä todistus?
Yritän todistaa lim x-> 3 (x^2)=9. Merkinnät D=delta, E=epsilon
|x-3|<D
-D<x-3<D || 3
-D 3<x<D 3 || lisään ehdon 0<D<3, korotan neliöön
(-D 3)^2<x^2<(D 3)^2
D^2-6D 9<x^2<D^2 6D 9 || -9
D^2-6D<x^2-9<D^2 6D
Tutkin erikseen, että välillä 0<D<3 vasemmanpuoleinen lauseke saa arvot ]-9, 0[ ja oikeanpuoleinen arvot ]0, 27[. Siispä
|x^2-9|<D^2 6D=D(D 6)
Nyt valitsen E=D(D 6).
Siis kun pienennän deltaa, niin epsilonin lausekkeen E=D(D 6) molemmat tekjiät pienenevät, joten lim x-> 3 (x^2)=9.
Käykö tämä?
Delta-epsilon ja raja-arvo
Anonyymi
9
659
Vastaukset
- Anonyymi
Lähinn siis se, että olenko ymmärtänyt tämän delta-epsilon-todistuksen oikein?
- Anonyymi
Ei käy. Olet tuossa kiinnittänyt epsilonin riippumaan deltasta. Epsilon-delta-todistuksessa on olennaista, että ensin valitaan mielivaltainen positiivinen epsilon. Sitten valitaan delta, joka riippuu epsilonista. Usein deltan lauseketta ei tiedetä etukäteen, vaan lasketaan kyseinen lauseke. Sitten kirjoitetaan todistus puhtaaksi, tyyliin
Olkoon epsilon mielivaltainen positiivinen kokonaisluku ja delta = joku epsilonista riippuva lauseke. Tälloin f(x)-a=(siventelyä ja epäyhtälöitä)...<epsilon.- Anonyymi
Selvä, kiitos.
Entä olisiko tämä ok? (lim x->4 sqrt(x 5)=3)
|sqrt(x 5)-3|<E
-E<sqrt(x 5)-3<E || 3
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 || lisään ehdon -E 3>=0 eli E<=3, korotan 2. potenssiin
(-E 3)^2<x 5<(E 3)^2
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9 ||-9
E^2-6E<x-4<E^2 6E
|x-4|<E^2 6E=E(E 6)
Valitsen D=E(E 6). Kun E pienenee, niin D pienenee.
Todistus kirjoitetaan puhtaaksi, tarkoittaako se siis vain tätä:
|x-4|<D=E(E 6)=E^2 6E
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9
(E-3)^2<x 5<(E 3)^2 ||neliöjuuri, edelleen ehto 0<E<=3
|E-3|<sqrt(x 5)<|E 3|
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 ||-3
-E<sqrt(x 5)-3<E
|sqrt(x 5)-3|<E
Miksi on väliä, kiinnitänkö deltan epsiloniin vai toisinpäin? Eikö yhtälailla huomata, että kun x:n etäisyys kohdasta x=4 pienenee, y:n etäisyys arvosta y=3 pienenee? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Selvä, kiitos.
Entä olisiko tämä ok? (lim x->4 sqrt(x 5)=3)
|sqrt(x 5)-3|<E
-E<sqrt(x 5)-3<E || 3
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 || lisään ehdon -E 3>=0 eli E<=3, korotan 2. potenssiin
(-E 3)^2<x 5<(E 3)^2
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9 ||-9
E^2-6E<x-4<E^2 6E
|x-4|<E^2 6E=E(E 6)
Valitsen D=E(E 6). Kun E pienenee, niin D pienenee.
Todistus kirjoitetaan puhtaaksi, tarkoittaako se siis vain tätä:
|x-4|<D=E(E 6)=E^2 6E
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
E^2-6E 9<x 5<E^2 6E 9
(E-3)^2<x 5<(E 3)^2 ||neliöjuuri, edelleen ehto 0<E<=3
|E-3|<sqrt(x 5)<|E 3|
-E 3<sqrt(x 5)<E 3 ||-3
-E<sqrt(x 5)-3<E
|sqrt(x 5)-3|<E
Miksi on väliä, kiinnitänkö deltan epsiloniin vai toisinpäin? Eikö yhtälailla huomata, että kun x:n etäisyys kohdasta x=4 pienenee, y:n etäisyys arvosta y=3 pienenee?Kirjoitin äsken:
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
Ei siis seuraakaan, mutta onko sillä väliä? Täytyykö todistus kirjoittaa vielä näin päin lähtien kohdasta |x-4|<D ja edeten kohtaan |sqrt(x 5)-3|<E ? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Kirjoitin äsken:
-E^2-6E<x-4<E^2 6E
(Ylläolevasta seuraa, että alempi on totta:)
E^2-6E<x-4<E^2 6E || 9
Ei siis seuraakaan, mutta onko sillä väliä? Täytyykö todistus kirjoittaa vielä näin päin lähtien kohdasta |x-4|<D ja edeten kohtaan |sqrt(x 5)-3|<E ?Vielä, tarkoitan siis, riittääkö vain ensimmäinen osa, jossa määritän deltalle lausekkeen, todistukseksi?
- Anonyymi
Ajattelet asiaa liian monimutkaisesti. Lineaariselle funktiolle tuo todistus on triviaali (D=E). Tuossa wikilinkissä todistetaan että y = x^2 lähestyy ->9 kun x-> 3. Katso siitä mallia.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktion_raja-arvo- Anonyymi
Mutta esim. tuo raja-arvon lim x->4 sqrt(x 5)=3 todistus, jossa mulla on epsilon E ja delta D=E(E 6). Vaikka mietin ne jotenkin todella oudosti, käykö tuo edellä tekemäni perusteluksi tälle raja-arvolle? Ja riittääkö perusteluksi vain se, että mulla on epsilon ja johdan lausekkeen deltalle, joka riippuu epsilonista?
Olen kyllä siis yrittänyt ymmärtää tuota wikisivuston todistusta.
- Anonyymi
Niinpäin, että ensin valitaan e ja sitten muodostetaan sitä käyttäen d lauseke niin, että d -> 0 kun e->0. Tuossa nimenomaisessa esimerkissä, jos on osoitettava että y = x ->3 kun x->3, oletetaan |y-3| = |x-3| < e. Kun valitaan d = e, täyttyy ehto että |y-3| < e silloin kun |x-3| < d.
- Anonyymi
Aloitat näin
Olkoon mielivaltainen E>0
Sitten valitset omien pyöritystesi perusteella riittävän pienen
D. Eli valitset D=minimi(E/7, 1)
Eli D<=1, D<=E/7
Nyt D^2 6D<=1*D 6D=7D<=7*E/7=E
ja nyt tuolla pyöritteltylläsi
kun |x-3|<D niin
|x^2-9|<D^2 6D=E
eli |x^2-9|<E
Pyörittelysi on oikeaa, mutta aloitat toteamalla E>0 mielivaltaiseksi
(kun se on mielivaltainen niin se kattaa kaikki luvut)
ja valitset D niin että siitä tulee varmasti riittävän pienin ja jotenkin päädyt
algebran jälkeen niin että saat |sdgsdg|<E
Ja usein D valinnassa tahdotaan D olevan riippuvainen paitsi luvusta E niin myös jostain muusta vakiosta esim. alle 3 tai alle 1 tai alle 0,001. Silloin mukaan tulee
tuo min funktio.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 271408
Minun oma kaivattuni
Ei ole mikään ilkeä kiusaajatyyppi, vaan sivistynyt ja fiksu sekä ystävällinen ihminen, ja arvostan häntä suuresti. Raka611271Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha91215Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?281157Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.291155Tervehdys!
Sä voit poistaa nää kaikki, mut mä kysyn silti A:lta sen kokemuksia sun käytöksestä eron jälkeen. Btw, miks haluut sabot641067Pelastakaa Lapset: Netti ei ole turvallinen paikka lapsille - Erätauko-tilaisuus to 25.4.2024
Netti ei ole turvallinen paikka lapsille, mutta mitä asialle voi vanhempana tehdä? Torstaina 25.4.2024 keskustellaan ne131053Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan331048Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se71043Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k61032