"Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on x ja toisen 4-x. Mitä arvoja x voi saada? Määritä hypotenuusan pienin mahdollinen pituus."
Opettajat ja matematiikan osaajat! Tällainen probleema kyseessä, osaako joku auttaa?
Opettajat ja matematiikan osaajat! Tällainen probleema kyseessä, osaako joku auttaa?
Vastaukset 14
Vanhimmat
Jos kateetin pituus ei voi olla negatiivinen niin on aika helppoa päätellä, mitkä ovat x:n ääriarvot. Sitten Pythagorasta peliin ja funktion minimiä etsimään.
Piirrä kuva ruutupaperille. Sitten yritä piirtää kaksi muuta kuvaa, joissa x on mahdollisimman pieni ja mahdollisimman suuri. Ei ole niin tarkkaa. Kyllä kuvat kerrovat kaiken. Saatko piirrettyä kuvan, jossa x on 0 tai x on 4? Mitä eroa noilla kuvilla voisi olla? Symmetria!
Hypotenuusan pienin pituus saadaan, kun X=0.5 ja on neliöjuuri 12.5:stä. Ellen laskenut väärin.
Laskit väärin. Huomaa, että voi laskea minimikohdan hypotenuusan neliölle, jolloin lasku helpottuu.
Tuolla edellä yritettiin vihjata symmetriaan. Hypotenuusa on:
h^2 = x^2 (4-x)^2
Tuosta voit löytää minimin derivoimalla h^2 lauseke. Voi myös sijoittaa: x=k 2. Silloin saadaan muotoon:
h^2 = (k 2)^2 (2-k)^2 = 2*(k^2 4)
Tuosta näet suoraan, että minimi saadaan kun k=0, eli kateetit ovat 2 ja 2. Ja että hypotenuusaminimi on 2*sqrt2.
Tärkeintä on päteä palstalla niin että koululaiset voivat kopioida valmiit tulokset.
Ja joillakin on tärkeätä päivystää palstalla jotta voi toistuvasti huomauttaa samasta asiasta. Oletan että tuon 12:07 viestin lähettänyt henkilö on aloittaja ja hän on saanut väärän vastauksen. Ehkä hän on derivoinut neliöjuurilauseketta ja sotkeutunut laskuissaan. Joten opastin oikealle reitille. Ratkaisua siten kun tehtävä on ilmeieseti tarkoitettu laskettavaksi, ei ole vielä esitetty.
Itse kylläkin laskin derivaatan tuosta toisen asteen yhtälöstä ja ratkaisin siitä nollakohdan.
x^2 (4-x)^2 => x^2 16 - 8x x^2 => 2x^2 - 8x 16
Derivaatta 4x -8 = 0 => 4x = 8 => x=0.5
Ja tarkistin vielä laskimella. 2* sqr(2) antaa reilut 2.8, kun taas sqr(12.5), jonka saa tuosta on reilut 3.5. Eli isompi. Tai murtolukuina esitettynä:
(1/2)^2 (7/2)^2 = 1/4 49/4 = 50/4 = 12.5. Tuo siis hypotenuusan neliö.
h² = x² (4-x)² → etsitään ääriarvot derivoimalla h² lauseke
→ d(h²)/dx = 2x 2(4-x)(-1) = 4x - 8
merkitään lauseke nollaksi ja ratkaistaan x → 4x - 8 = 0, josta x = 2
no antaako tämä minimin vai maksimin? otetaan toinen derivaatta
→ D(4x-8) = 4 ja koska 4 > 0, niin kyseessä on minimi!
Pienin hypotenuusa on siten h = sqrt(2² (4-2)² = 2sqrt(2)
Kyllä tuon pystyy matemaattisesti ratkaisemaan ihan vaan sanallisestikin ilman mitään laskutoimituksia. Pitää tietysti tuntea lakeja ja sääntöjä ja vanhojen matemaatikkojen nimiä. Eli ei onnistu ihan vielä lukiossa!
Äh, olisi pitänyt lukea aloitus tarkemmin. Tehtävässä etsittiin hypotenuusan minimiä, mutta tuo taitaakin antaa maksimin.
Äsh^2. Olin aivan varma, että toisen asteen yhtälö ja derivaatta olivat oikein, mutta tarkistin vielä, Huomasin, että derivaatan ratkaisu oli aivan pielessä. 4x-8 = 0 antaa x:n arvoksi 2 eikä 0.5.
Huoh, pitäisi olla tarkkaavaisempi. Mutta menetelmä oli oikein, yksi jakolasku vain meni päin honkia...
On taas räävitty asiaa mutta yhtään matemaattisesti täsmällistä ratkaisua ei ole annettu.
Hypotenuusan pituus on h(x) = sqrt(2x^2 - 8x 16) ja funktio h on määritelty avoimella intervallilla 0 < x < 4. Degeneroitunutta kolmiota (x= 0 tai x = 4) ei tässä käsitellä.
Jos olisi kyseessä vähän korkeampitasoinen matemaattinen teksti voisi katsoa lukijan ymmärtävän että h ja h^2 saavat minimin samassa pisteessä. Mutta näin alkeisjutussa se kyllä (mielestäni) vaatisi todistuksen. Sillä esim. funktiolla f(x) = x (määritelty kaikille reaaliluvuille x) ei ole minimiä mutta funktiolla x^2 on minimi kun x= 0.
h:n minimikohta voidaan kyllä laskea ihan suoraan.
h'(x) = 1/2 * (4x-8) / sqrt(2x^2 - 8x 16) = 0 kun x = 2.
Lausekkeessa esiintyvä nimittäjä on > 0 kaikilla x:n arvoilla, nollakohtaa ei ole.
h'(x) vaihtaa etumerkkiä miinuksesta plussaksi kun x kasvaen ohittaa arvon 2. Kyseessä on siis minimi.
Avoimella intervallilla0 < x < 4 funktiolla h ei ole suurita arvoa. Ja tuo x = 2 olikin ainut derivaatan nollakohta.
Kysytty hypotenuusan pienin pituus on h(2) = 2 sqrt(2).
Ei tuo lukiotasolla vaadi todistusta, sillä kyse on kolmiosta, jolloin kaikki sivunpituudet ovat positiivisia. Silloin suurimman luvun neliö on myös suurin ja päinvastoin.
Lukiolaiselle ei ehkä Lagrangen kertoja ole tuttu mutta lasken nyt niinkin.
Kateetit : 0 < x <4 ja 0 < y < 4. x y = 4
Tarkastellaan funktiota
f(x, y, k) = sqrt(x^2 y^2) - k(x y-4)
df/dx = x/sqrt(x^2 y^2) - k
df/dy = y/sqrt(x^2 y^2) - k
Kun yo derivaatat asetaan = 0 niin seuraa x=y.
=> x = y = 2 ja sqrt(x^2 y^2) = 2 sqrt(2)