Hei kaikki matikkanerot!
Mulla ois yks kysymys. Miten saan määrätylle integraalille tarkan arvon vastaukseksi. Lauseke menee siis näin: (96x^3 24x^2 48x 6)/((4x^2 1)^2) välillä 0<x<1
Mulla ois yks kysymys. Miten saan määrätylle integraalille tarkan arvon vastaukseksi. Lauseke menee siis näin: (96x^3 24x^2 48x 6)/((4x^2 1)^2) välillä 0<x<1
Vastaukset 24
Vanhimmat
Esimerkiksi katsomalla WolframAlphalla..
Olen laskenut käsin ja T-inspire laskimella tuon, mutta koulun sähköinen tarkistusjätjestelmä ei huoli sitä vastausta.
Pieni Python 3 ohjelma:
x = s = 0
for i in range (0,1000000):
____s = (96*x**3 24*x**2 48*x 6)/((4*x**2 1)**2)
____x = 0.000001
print(s/1000000)
10.549759410686706
Onko oikein tai riittävän tarkka?
gmpy2-kirjasto-ohjelmalla tarkkuutta voi lisätä monisatabittiseksi.
Tuossa ohjelmassa x pitää tietysti olla aluksi x = 0.0000005. Eli ekan viipaleen puolivälissä. Pelkästään tuolla korjauksella saadaan 4 oikeaa desimaalia lisää eli tulos olisi:
10.549759890694117
Jos tuossa kasvattaa viipaleitten määrän 10 miljoonaksi, tulos jostain hiukan huononee. Johtunee lisääntyneistä pyöritysvirheistä.
gmpy2:ta käytäen saa helposti 15 oikeaa desimaalia 10 miljoonalla viipaleella ja 200 bitin tarkkuudella. Aikaa kului n. 15 min.
Tarkka arvo: 3*(ln5 arctan2 0,8)
Tuo lienee jotain n. 10,54975989068457263285347438021417403878694699900985 ihan peruslaskimella laskettuna.
Aika lähelle pääsisi varmasti ajan kanssa gmpy2:llakin.
Kiitos. Pitääkö tarkassa-arvossa lukujen siis olla desimaaleja, syötin lukuja vastaukseen murtolukuina.
Murtoluku saattaa olla tarkka arvo. Päättymätön desimaaliluku ei ole. Hyvä esimerkki tuosta on pii.
sain seuraavasta tehtävästä integraaliksi ennen ylä ja alarajasijoitusta sijoitusta= 3(ln(4x^2 1) 2arctan(2x)-(4/4x^2 1) ja sitten kuin sijoitin 0<x<1 niin sain tulokseksi 3ln(5) 2arctan(2) (16/5). Onko tuo oikein hos tehtävässä nimenomaan vaaditaan määrätyn integraalin tarkkaa arvoa?
Oikea integraali on:
3(ln(4x^2 1) 2arctan(2x)-(1/(4x^2 1))
Jos tuo on oikein laskettu niin sitten se on oikea vastaus.
Korjataan vielä:
3(ln(4x^2 1) arctan(2x)-(1/(4x^2 1))
Ja tarkka arvo tuo edellä annettu:
3*(ln5 arctan2 4/5)
Numeerisesti laskemalla ei tuolle tarkkaa arvoa synny vaikka vatkaisi maailman tappiin asti.
Alta sekunnin saa riittävän tarkan numeerisen vastauksen. Sitähän kuitenkin lähes aina tarvitaan. Ja kyllä se tässäkin on ihan oleellista ja tarpeellista tietää. Jo ihan tarkistusmielessäkin. Ja tarkkuutta voi sitten aina lisätä ihan rajattomasti. Ohjelmapätkän tekoon menee muutama minuutti. Kyllä tämän oppii jokainen metematiikkaa hiukankin enemmän opiskellut.
Väittelette eri asioista. Piille ei saa tarkkaa numeerista arvoa mitenkään, koska se on päättymätön desimaaliluku. Tarpeeksi tarkan sille saa helposti.
Annettu funktio f pitää esittää osamurtolausekkeiden avulla ja sitten löytää sen intgraalifunktio (antiderivaatta) F.
Saadaan
f(x) = 6/(1 4x^2) 24 x / (1 4x^2) 24x/(1 4x^2)^2
Huomataan, että
d/dx ( 3 arctg(2x)) = 6/(1 4x^2)
d/dx (ln((1 4x^2)^3)) = 24x/(1 4x^2)
d/dx(- 3/(1 4x^2)) = 24x/(1 4x^2)
Joten F(x) = 3 arctg(2x) ln((1 4x^2)^3) - 3/(1 x^2) C
Kysytyn integraalin arvo on
F(1) - F(0) = pii ln(125) 12/5.
Tämä on se tarkka arvo.
W-A laskee likiarvoksi 10.369906390892094
Ota tuosta niin monta numeroa kuin haluat!
Tuli laskuvirhe. 3 arctg(2) ei ole pii.
F(1) - F(0) = 3 arctg(2) ln(125) 12/5
Likiarvo on 10.54975989068457...
Näkyi olevan kirjoitusvirhekin:
P.O. : F(x) = 3 arctg(2x) ln((1 4x^2)^3) - 3/(1 4x^2) C
Miksi numeerisesti laskemalla tulee eri tulos (10,54975989...)? Ei kait muutaman rivin Python ohjelmaan millään noin suurta virhettä kukaan pysty unissaankaan saamaan?
Montako minuuttia sinulta kuluisi Pythonilla suuruusluokan tarkistamiseen? Ja sitten paloittainen tarkistamiseen? Saanet haarukoitua virhepaikan. aika nopeasti. Tai sitten todistettua Pythonin toimimattomuuden.
Eikös tuossa viestissä Anonyymi/30.10. 15:13 ollut kymmenen desimaalia oikein? Eikös se ole aika hyvä tulos?
Vai oletko lukenut sitä 1. viestiäni etkä huomannut korjausta jonka tein tarkan arvon lausekkeeseen?
Mitähän tarkoitat?
Ei noita korjauksia silloin ollut, kun aloin tekstiä kirjoittamaan. Tein tietysti samalla paljon muitakin hommia ja tarkistelin asioita.
Ei nuo sinun jälkikäteen tehdyt korjaukset varsinaista asiaa miksikään muuta. Eli kannattaa aina poikkeuksetta tarkistaa esittämänsä tuloksen suuruusluokka ennen sen virallista julkaisemista valtakunnallisella matemaatikkojen foorumilla. Ainakin, jos tulos poikkea usean proffan aikaisemmin esittämistä luvuista.
Et tainnut huomata, että on ratkaistu tuolla edellä ajat sitten, ja oikein.
Huomasin kyllä että yhtään ratkaisua, jossa tuo integraali olisi johdettu, ei ollut. Vastaajat olisivat yhtä hyvin voineet katsosa sen integraalin lausekkeen jostain integroimisohjelmasta. Siksi päätin näyttää, miten tuo integraali lasketaan suljetussa muodossa.
Lasku- ja kirjoitusvirheitä sattuu. Korjasin ne kuitenkin aika nopeasi. Se, että niitä ylipäätänsä oli, ei poista sitä, että todella näytin miten tuo integraali saadaan.
Sinä se taidat olla varsinainen "valtakunnallinen matemaatikko"!
Aiheetta yhtään enempään.
Anonyymi